大学院入試問題

$<f(U)> &= \frac{\int_{0}^{N_0}f(U)\mathrm{d} N}{\int_{0}^{N_0}1\cdot \mathrm{d} N},\\&=\frac{\int_{-pE}^{pE}f(U)N_0 \mathrm{e}^{\frac{-U}{k_B T}}\mathrm{d}U}{\int_{-pE}^{pE}1\cdot N_0 \mathrm{e}^{\frac{-U}{k_B T}}\mathrm{d}U},\\&=\frac{\int_{-pE}^{pE}f(U)\mathrm{e}^{\frac{-U}{k_B T}}\mathrm{d}U}{\int_{-pE}^{pE} \mathrm{e}^{\frac{-U}{k_B T}}\mathrm{d}U},$

と表せます．

内部エネルギの期待値が必要なら，f(U)=U，とすれば良いですね．

【追伸】を計算してみましたが，予想と違う結果になりました．ご専門の方からのご意見を戴けると，幸いです．計算ミスが有りそうですが，その結果は；

$ = pE\frac{ 1+\mathrm{e}^{ \frac{-2pE}{k_B T} } }{ 1-\mathrm{e}^{ \frac{-2pE}{k_B T} } }+k_{B}T.$

でした．

Re: 大学院入試問題

スチームさんのレス (2008/07/10(Thu) 17:10)

計算は合っていると思います．後，高温近似すれば設問の答えと一致します．と，思ったのですが，二つの項のどちらかの符号が違うのかも．第一項の符号が逆ですね．

Re: 大学院入試問題

mNeji さんのレス (2008/07/11(Fri) 00:13)

＞第一項の符号が逆ですね．

そうですね，指数関数を分母・分子で整理する時に符号を間違えた様です．しかし，そうしても，

$ = -pE\frac{ 1+\mathrm{e}^{ \frac{-2pE}{k_B T} } }{ 1-\mathrm{e}^{ \frac{-2pE}{k_B T} } }+k_{B}T.$

指数部が十分に小さい；

$x_0 := \frac{2pE}{k_B T} << 1,$

すなわち，熱エネルギの撹乱が双極子エネルギも大きければ，すなわち高温近似ならば，

$\mathrm{e}^{ \frac{-2pE}{k_B T} } &= \mathrm{e}^{ -x_0},\\&\sim 1-x_0,\\&= 1-\frac{2pE}{k_B T}.$

高温近似でのエネルギは，

$_{HighTemp.} &\sim -pE\frac{ 1+1-\frac{2pE}{k_B T} }{ 1-(1-\frac{2pE}{k_B T}) }+k_{B}T,\\&\sim -pE\frac{ 2 }{ \frac{2pE}{k_B T}) }+k_{B}T,\\&= 0,$

となりました．高温近似では，熱撹乱が大きく，全ての方向余弦を向く事が等確率で起こり，エネルギの平均値がゼロとなっている，ように思われます．

この高温近似での平均的な余弦量， $<\cos(\theta)>_{HighTemp.}$ とすれば，

$_{HighTemp.}=-pE<\cos(\theta)>_{HighTemp.},$

を満たすので，

$<\cos(\theta)>_{HighTemp.}= 0,$

となる．高温近似では，熱撹乱が大きく，全ての方向余弦を向く事が等確率で起こり，平均値がゼロとなっている，ように思われます．

＃これは題意より示された「ファクタ3」と合致しない...？

逆に低温近似を考えて見ます；

$x_0 := \frac{2pE}{k_B T} >> 1,$

$_{LowTemp.} &\sim -pE\frac{1+0}{1-0}+k_{B}T,\\&= -pE+k_{B}T,\\&\sim -pE,$

これは，低温の為に，ほとんど最低エネルギに落ちていて，電場の方向に全てのダイポールが配向していると見なせるとおもいます．

Re: 大学院入試問題

なんとなくさんのレス (2008/07/11(Fri) 02:15)

>mNejiさん

高温での近似は， =-pE{(1+exp(-2x))/(1-exp(-2x))-1/x}(∵x=x0/2=pE/kT) ですが，これは， =-pE{coth(x)-1/x} なので，x<<1 のcoth(x)のテイラー展開 coth(x)=1/x+x/3-x^3/45+・・・を用いて，〜-pE(pE/3kT)となります．つまり，近似の方法が間違っています．分数の場合，各項を十分にとり，オーダーを合わせねばなりません．