惑星　極座標　運動方程式

home > 掲示板 >

このページのPDF版

サイトマップ

惑星　極座標　運動方程式

たけさんの書込 (2008/06/30(Mon) 15:18)

今大学１年です．惑星の極座標の方程式に関する質問です．極座標の原点を楕円 b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 の中心(x=0,y=0)にとります．

$m[\frac{d^2r}{dt^2} -r(\frac{d\Theta}{dt} )^2 ]=Fr$

面積速度一定

$\frac{1}{2} r^2\frac{d\Theta}{dt} =\frac{1}{2} h$

を利用して， $Fr=-m\frac{h}{ab} ^2r$ を証明せよという問題です．いまのところ， $r=\frac{b}{\sqrt[]{\mathstrut 1+ecos^2\Theta} } (e=\frac{b^2-a^2}{a^2} )$ とおいて $\frac{dr}{dt} =\frac{ehrcos\Theta sin\Theta}{b^2}$ となったのですが $\frac{d^2r}{dt^2}$ がぐちゃぐちゃになってしまい，３時間近く考えているのですが，どうしようもなく，ここに相談しました． $\frac{d^2r}{dt^2} =\frac{h^2}{r^3}-(\frac{h}{ab} )^2r$ とすることができれば解けるのですが・・・大変恐縮なのですが，このあとどうすれば解けるのでしょうか？教えてください．

Re: 惑星　極座標　運動方程式

yama さんのレス (2008/06/30(Mon) 15:48)

たけさんが書かれている運動方程式と面積速度一定の式は太陽を原点にとったときの式です．ところが，太陽は楕円の１つの焦点にあるのであって，楕円の中心にあるわけではありません．従って，楕円の中心を原点にとった場合の運動方程式はたけさんが書かれた形にはなりません．

Re: 惑星　極座標　運動方程式

たけさんのレス (2008/06/30(Mon) 15:58)

>>yamaさん返答ありがとうございます．私の式は楕円中心のものだと思うのですが・・・太陽を中心の場合，分母に根号が入らない形ではないでしょうか？

Re: 惑星　極座標　運動方程式

yama さんのレス (2008/06/30(Mon) 16:12)

rを表す式は楕円中心を原点としたものですね．ところが運動方程式と面積速度一定の式は太陽を原点としたものです．つまり，原点のとりかたの異なる式が混在しているということです．

と書きましたが，運動方程式については，楕円中心を原点にとっても同じ形にはなりますね．ただし，その場合は F_r がrだけの関数ではなくなります．

Re: 惑星　極座標　運動方程式

たけさんのレス (2008/06/30(Mon) 16:31)

ん〜問題文にある図は原点が楕円の中心になっています・・・ためしに，

$r=\frac{l}{1+ecos\Theta} (l=\frac{b^2}{a} ,e^2=\frac{b^2-a^2}{a^2} )$

でやってみたのですが $\frac{d^2r}{dt^2} =\frac{h^2}{r^3}-\frac{ah^2}{b^2r^2}$ となってしまい，だめでした．

Re: 惑星　極座標　運動方程式

スチームさんのレス (2008/06/30(Mon) 17:03)

横から失礼します．たけさんの方法はまっとうですが，やや困難です．そこで極座標系からｘ−ｙ座標系で考え直すと容易です．二次元の振動の問題ですので．

Re: 惑星　極座標　運動方程式

yama さんのレス (2008/06/30(Mon) 17:10)

証明すべき式をよく見ると，力はrに比例する引力のようですね．惑星の運動の場合は，力は $r^{-2}$ に比例するはずなので，惑星の運動ではないように思います． rに比例する引力がはたらくということは，２次元の調和振動だと思います．そうだとすれば，楕円の中心を原点にとったとき，運動方程式と面積速度一定の式はたけさんが書かれた式になりますね．

ところで，問題文には惑星の運動と書いてあるのでしょうか？

Re: 惑星　極座標　運動方程式

たけさんのレス (2008/06/30(Mon) 17:49)

>>スチームさんありがとうございます．試してみます． >>yamaさん惑星とは書いてませんでした．．．本当にすみません．誤解を生じさせてしまいました．

Re: 惑星　極座標　運動方程式

たけさんのレス (2008/07/01(Tue) 00:39)

やはりできませんでした・・・

Re: 惑星　極座標　運動方程式

スチームさんのレス (2008/07/01(Tue) 09:08)

ヒント x=acosφ y=bsinφ とおき，面積速度一定より，速度を(u,v)とすれば xv-yu=h (u=dx/dt,v=dy/dt) 以上から，dφ/dtを決定．

Re: 惑星　極座標　運動方程式

ｋｏｍａｇａｔａｋｅさんのレス (2008/07/01(Tue) 17:51)

私もやってみました．かなり時間がかかりました．３時間以上です．

計算の方針が決まっていても確かにそうなるということを確めるだけでもかなりの時間がかかります．３時間でできるという保障はないのですから投げずにがんばってください．

面積速度一定は中心力の場合はいつも成り立ちます．軌道の形が決まれば力の表現が決まるはずです．

極座標でやってみます．ｒ^２［（ｃｏｓφ）^２／ａ^２＋（ｓｉｎφ）^２／ｂ^２）］＝１この式を時間で微分するとｄｒ／ｄｔ，ｄφ／ｄｔの関係式が出ます．ｈを使って書き直すとｄｒ／ｄｔ＝ｈｒ(ｃｏｓφ)(ｓｉｎφ)（１／ａ^２−１／ｂ^２）になります．これをまた時間で微分して整理してｄ^２ｒ／ｄｔ^２−ｒ(ｄφ／ｄｔ)^２を計算すると−ｈ^２ｒ／ａ^２ｂ^２が出てきます．（ａ，ｂに２乗がつくはずです．）

計算の最後で (ａ^２−ｂ^２)［ａ^２(ｓｉｎφ)^４−ｂ^２(ｃｏｓφ)^４］が出てきますが簡単になりますから投げずにやってください．

ご質問の最初にある離心率を使った楕円の表現は焦点のひとつを原点としたものですから正直にやれば１／ｒ^２の形の引力が出るはずです．

６／３０１６：３１のレスにある式ｄ^２ｒ／ｄｔ^２＝ｈ^２／ｒ^３−ａｈ^２／ｂ^２ｒ^２をＦｒの式に代入すると万有引力の式が出てきます．（１項目が消えて２項目だけが残ります．）