自重でのばね振り子の周期

自重でのばね振り子の周期

シュレディンガー さんの書込 (2008/06/11(Wed) 00:01)

高校でのばね振り子の実験で先生が，重りをつけてない時の ばね振り子の周期は，重りをつけてる時の何倍かと聞かれて今そのことで 悩んでいます． 先生のヒントは「ばね定数k，質量mのばねを水平な滑らかな台に置いた時自然長がLであった． 問1，このばねを鉛直につるしたら，いくらの長さになるか求めなさい． 問2，上の結果は，ばね定数k，質量ゼロのばねにいくらの質量の物体をつるした 場合に相当するか？」というのが先生のヒントです． 積分を使うそうです．どうか高校生の自分に教えてください．お願いします．

Re: 自重でのばね振り子の周期

yama さんのレス (2008/06/11(Wed) 14:28)

問１が分かれば問２も分かると思いますので，問１について説明します．

ばねに加わる力とばねの伸びの関係は

F=kx=kL\frac{x}{L}

となります． ここで \frac{x}{L} は，ばねの自然長に対する伸びの比ですが，ばねの伸びが一様である場合は，ばねの微小部分 dl に対する伸び dx の比 \frac{dx}{dl} も同じになるので

F=kL\frac{dx}{dl}\tag{1}

となります． ばねに働く力が一様でなければ，伸びも一様でなくなりますが，それぞれの微小部分にはたらく力を F とすると，やはり(1)が成り立つと考えられます．

従って，おもりをつけないばねをつるしたとき，下端から自然長で l から l+dl までの部分 dl の伸びを dx とすると(1)が成り立ちます． このとき F はばねの微小部分 dl にはたらく力ですが，これは下端から自然長で l までの部分にはたらく重力に等しく， m,g,L,l を用いて表すことができます． これからばね全体の伸び x が

x=\int_0^L\frac{dx}{dl}dl=\int_0^L\frac{F}{kL}dl

で求められます．

Re: 自重でのばね振り子の周期

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/06/11(Wed) 16:17)

あれ? 1/2のfactorがでないですが．．．． (大雑把にいってばねの重心(L/2)に荷重があるわけですよね．)

Re: 自重でのばね振り子の周期

yama さんのレス (2008/06/11(Wed) 16:26)

F が l に比例するので積分すれば1/2のfactorが出ると思います．

Re: 自重でのばね振り子の周期

DIO さんのレス (2008/06/12(Thu) 10:52)

質問者ではないのですが失礼します 解いてみたのですが，よく分からないことがありまして，，

バネを自然長においてn等分した部分のつり合いの式を考えると， ある部分のバネ定数，バネの伸びをそれぞれ k_i,x_i として（ i=1 がバネの下端）

\frac{mg}{n} + k_ix_i = k_{i+1}x_{i+1}

これより

k_ix_i = \frac{mg}{n}i

また， k_i=nk なので

x_i = \frac{1}{n^2}\frac{mg}{k}i

よって

x &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^2}\frac{mg}{k}i \\&= \frac{mg}{2k}

k_i=nk というのが勘でしたが答えがyamaさんの出されたものと同じみたなのであってそうな気がしてます．

自分で書いておいてなんですが何故 k_i=nk が成り立つんでしょうか

Re: 自重でのばね振り子の周期

yama さんのレス (2008/06/12(Thu) 13:28)

ばねを水平に引く場合のように，ばね全体に一様な力 F が加わる場合を考えます． このとき，ばね全体について F=kx ，n等分した各部分について F=k_ix_i が成り立ちます． また，各部分の伸びは等しく，その和がばね全体の伸びに等しいので x=nx_i の関係があります． これらの関係式から k_i=nk が導かれます．

Re: 自重でのばね振り子の周期

DIO さんのレス (2008/06/12(Thu) 23:26)

なるほど，結局yamaさんがNo.20271のはじめの方で書かれていたことと同じ分けですね． 有り難うございました．

力が一様で無くても n\to\infty とすることでこれが成り立つ，という理解であってますでしょうか