１９歳学生 さんの書込 (2008/02/11(Mon) 16:10)

大学一年生です． 第二，第三法則についてはできたのですが第一法則の証明ができません 感覚的には当たり前のことなのですが，いざ数式で証明しようとすると何をしたらいいのかが分かりません． どなたかよろしくお願いします．

tip★ さんのレス (2008/02/11(Mon) 21:00)

基本的には，「万有引力の法則と運動方程式を用いて，微分方程式を解く」だったと思います．

とりあえず，万有引力の法則と運動方程式を書いて，できるところまで，書いてみてください．

トンガリ さんのレス (2008/02/15(Fri) 23:45)

ケプラーの第１法則 『すべての惑星は太陽を１つの焦点とする楕円軌道をえがく．』

私は未だ内容を理解していませんが，下記のが有りました．

ニュートンの力学の理論からケプラーの法則を導くことができます． 『ケプラーの法則の導出』

• http://www10.plala.or.jp/taikan/pleiades/kepler/kepler2.html

トンガリ さんのレス (2008/02/17(Sun) 11:50)

私はケプラーの第１法則を数式で証明できない．感覚的にも，十分満足には納得していない． 惑星は太陽を１つの焦点とする楕円軌道だが，もう一方の焦点は何を意味するのであろうか・・・

【人工衛星の円軌道】 引力mgと円運動による慣性力mV^2／Rが釣り合って安定し，mg＝mV^2／Rより， 人工衛星の速度V＝ √(Rg) ＝ √(6370 x 9.8／1000) ＝7.9[Km／s]を得る．

人工衛星の加速度-V^2／Rの式は，地球を中心とするRθ座標系で微少角度?θ移動の V の速度ベクトルの三角形から-V・sin(?θ)／?t→-V・V／R→-V^2／Rが求まる．これで，

運動方程式を書かなくても，人工衛星が円軌道となることを納得できる．こんなのが好きです．

【惑星の楕円軌道】 運動方程式を書かなくても，惑星が楕円軌道となることを説明することが，返信の主題である．

惑星は楕円軌道の１つの焦点にある太陽との間で万有引力を受けるのは常識である． 楕円軌道のもう一方焦点は何を意味するのであろうか・・・私が考えるに， 惑星の慣性力はもう一方の焦点を通る．言い換えると， 惑星の慣性力のベクトルはもう一方の焦点から惑星への向きが正になる．

『焦点から出た光が，楕円面の鏡で反射すると，もう一方の焦点を通る』のは事実である．従って， (条件)惑星の引力のベクトルと慣性力のベクトルの大きさが等しいとき，楕円軌道は安定し， 両力を合成した力のベクトル方向は楕円の接線となる．即ち，惑星は接線方向に運動させられる．

楕円軌道となることを証明するのに，始めから楕円軌道を想定するのは論理的に誤りでは・・・でもない． 上記の(条件)から始めて，太陽を中心とするRθ座標系で微少角度?θかの惑星の移動後において， 上記の(条件)が今も保たれていることを証明できれば，惑星が楕円軌道となることを十分納得できる．

?微少角度?θか移動後の惑星の引力のベクトル は簡単に求まるかな・・・ ?微少角度?θか移動後の惑星の慣性力のベクトルは難しいのか知らん・・・

申し訳有りません．未だ解けてないのに，仕事もせないかんので，未完成で返信してしまいました． 上記の慣性力とは質量の速度ベクトルが変化させられる時に質量に発生する力と解釈して下さい．

LASUNI さんのレス (2008/02/22(Fri) 20:00)

はじめまして．最近，物理が好きになってきた，学生です． 駿台文庫の『新・物理入門』に載っていたものと同じ証明をご紹介します． 簡単のため，質点mについての初期条件を， (x,y)=(h,0)，((d/dt)x,(d/dt)y)=(0,V)とし，質点Mは(0,0)で固定とします． まず，mの運動方程式はm(d^2/dt^2)x=-GMmx/(x^2+y^2)^(3/2)…? m(d^2/dt^2)y=-GMmy/(x^2+y^2)^(3/2)…? mの位置ベクトルは，mに掛かる力ベクトルと平行ですから， det((x,y),((d^2/dt^2)x,(d^2/dt^2)y))=0です．つまり， x・(d^2/dt^2)y-y・(d^2/dt^2)x=0で，両辺tで積分すると， x・(d/dt)y-y・(d/dt)x=const.=hV(初期条件より)…? ?はケプラーの第二法則を表していますね．

次に，?の両辺に?を掛けると hVm(d^2/dt^2)x=-GMmx(x・(d/dt)y-y・(d/dt)x)/(x^2+y^2)^(3/2) となり， この式を両辺tで積分すると， hVm(d/dt)x=-GMmy/(x^2+y^2)^(1/2) +const. 初期条件より hVm(d/dt)x=-GMmy/(x^2+y^2)^(1/2) …?となります． 同様に，?の両辺に?を掛けると hVm(d^2/dt^2)y=-GMmy(x・(d/dt)y-y・(d/dt)x)/(x^2+y^2)^(3/2) となり， この式を両辺tで積分すると， hVm(d/dt)y=-GMmx/(x^2+y^2)^(1/2) +const. 初期条件より hVm(d/dt)y=GMmx/(x^2+y^2)^(1/2)+hmV^2-GMm …?となります． あとは，?の(d/dt)xと，?の(d/dt)yを?に代入して，少し整頓すると，楕円の式(正確に書くと，二次曲線の式)が現れます．以上です．

vui さんのレス (2008/04/01(Tue) 21:29)

トンガリさん ＞運動方程式を書かなくても，惑星が楕円軌道となることを説明

自分は文系の高校で物理をやっただけなんで，数学的に理解してませんが，なんとなくイメージは持ってます．

★楕円の定義「2焦点からの距離の和が一定になる点の軌跡」 が ★高校の物理の楕円の性質「面積速度が一定」 に対応してませんかね．

多分，力学的エネルギーが「2焦点からの距離の和」に相当してるのではないかと． PF+PF'=一定で，PFとPF’のどっちかが運動エネルギーで，位置エネルギー なんでしょうか． （高校当時の物理は1Bだけでした．楕円運動は数Cのおかげでイメージは付きます．）

ｋｏｍａｇａｔａｋｅ さんのレス (2008/04/02(Wed) 10:02)

極座標で考える方が分かりやすいだろうと思います．

楕円軌道である（１） 面積速度が一定である（２）

中心力である（３） 距離の２乗に反比例する引力である（４）

（２）は（３）だけからでてきます．（１）は関係ありません． （１）（２）を満たす力はということで（４）がでてきます．

ニュートンの方がケプラーよりも後ですからこの方法でもいいでしょう． 微分方程式を解くよりはやさしいです．

極座標表示で加速度Ａを表すと Ａｒ＝ｄ２ｒ／ｄｔ２−ｒ(ｄθ／ｄｔ)２（５） Ａθ＝２(ｄｒ／ｄｔ)(ｄθ／ｄｔ)＋ｒ(ｄ２θ／ｄｔ２)（６） 運動方程式は Ｆｒ＝ｍＡｒ Ｆθ＝ｍＡθ 中心力であればＦθ＝０ですからＡθ＝０です． ｄ(ｒ２ｄθ／ｄｔ)／ｄｔ＝０ ｒ２ｄθ／ｄｔ＝Ｃ（一定）（７）

二点からの距離の和が一定になる点の軌跡というのが楕円です． 距離の和を２Ｌ，二点間の距離を２ｄとします．片方の点を原点とします．２つの点の並んでいる方向をθ＝０とします． ｒ＝（Ｌ２−ｄ２）／（Ｌ−ｄｃｏｓθ） です．書き直して簡単にすると ｒ＝β／（１−αｃｏｓθ）（８）

（７）（８）を使って（５）をｒだけで表すと−γ／ｒ２がでてきます．

理科年表に地球の軌道の離心率は０．０１６７と載っています． 長半径を１ｍとした場合，短半径は√（１−(０．０１６７)２）ですから差は１ｍｍ以下です．コンパスで１ｍの円を描いても鉛筆の幅に入ってしまいます．もう円と言っていいものです．

火星や木星の場合は離心率がもっと大きいので測定にかかってきたのでしょう．それにしてもこういういう測定を望遠鏡でやったケプラーの時代の人に感心します． 火星：０．０９３４ 木星：０．０４８５ （離心率は上で使った文字で表すとα＝ｄ／Ｌです．）