テル さんの書込 (2008/02/05(Tue) 02:27)

はじめまして．大学２回生のテルです． 地面にある水槽に地面からhの高さまで水が入っており，その側面に高さh'の所に穴をあけ，水平方向に水を噴出させる．水の地面での到達距離を最大にするにはh'はいくらにすればよいか． という問題で悩んでいます．

水中の高さｘのところの圧力をP(x)，大気圧をP0，水の密度をρとすると， P(h')＝P0＋ρg(h-h')になると考えました． また，水が地面に達するまでの時間tは，h'=(gt^2)/2より t=(2h'/g)^(1/2)となると考えました． 後は水が水平方向に出る時の速度がわかれば，式を立てられると思うのですが，その速度がよくわかりません． 圧力から力は出せると思うのですが，その力からいきなり速度を求めることはできるでしょうか？？ よろしくお願いいたします．

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/02/05(Tue) 12:41)

厳密にはいろいろむずかしいようですが，まずは「ベルヌーイの定理」を調べてください．

トンガリ さんのレス (2008/02/05(Tue) 15:28)

普通は，水の位置エネルギーがすべて運動エネルギーに変換されるものと考え， 噴流の速度をvと置いて，単位体積の水で式を立てると，ρg(h-h')＝(ρv^2)／2で 式を解いて，速度v＝√(2g(h-h'))・・・・・?のトリチェリの定理に到達する．

テルさんはエネルギー保存の式による速度vを否定しないまでも，求め方に満足しないのか知らん・・・

以下にF＝maなどで考えようとすると， 噴流の圧力はほぼ大気圧P0に等しいとみなされるので， 水が流れていなければ穴付近の内外の圧力差はP0に無関係なρg(h-h')である．しかし，不幸にも 水は流れているので，水の連続性から流速や圧力の穴付近での急激な変化は有り得ず，したがって， 穴付近の内外の圧力差が不明なので，力も不明となり，加速度や速度を求めるのは無理かな・・・

深さ方向に微少高さの水の円筒を想像し，その上下端面の圧力差は円筒が居る深さに無関係であり， 常に一定であるので，F＝maなどで考えるのに妙案かも・・・，それは頭の片隅に置いといて・・・

?の式をよく見ると，落差(h-h')だけ自由落下した水玉の速度の式に等しいから， 水槽の中に水面で垂直方向・穴で水平方向になるホースを想像して水玉を落とす． この想像に，自由落下での運動方程式なり公式を利用して，速度を求めるのが良い． これなら，エネルギー保存の式とは別の方法で式を求めたと言えるでしょう．

本題の到達距離を最大にするh'の求め方は割愛する．

テル さんのレス (2008/02/05(Tue) 17:10)

toorisugari no Hiroさん ベルヌーイの定理を調べてみたら，トンガリさんに書いていただいたトリチェリの定理のことも出てきました．このあたりのことを使って考えていきます． ありがとうございました．

トンガリさん 詳しい説明をありがとうございます． わかりやすい考え方まで教えていただいて，流体にはあまり慣れていなかった頭の中が整理されました．これで，最後まで解けそうです． ありがとうございました．