くま さんの書込 (2008/01/22(Tue) 13:49)

高校で学んだ式では解けないので悩んでいます． よろしくお願いします．

２０℃の水槽中（体積無限）に水の入った風船（体積1cm^2）を入れます． この風船を１分で５０℃に上昇させるのに必要な熱エネルギーは どうやって計算すればよいのでしょうか？ （到達後も５０℃に保つ為に常にエネルギーを送り続ける必要もありますが・・・）

風船内部は５０℃均一，風船の物性など無視できる， その他パラメータは適当な仮定で構いません．

です．よろしくお願いします．

くま さんのレス (2008/01/22(Tue) 18:01)

体積1cm^3ですね・・・

風船の中にヒーターを入れて加熱するイメージです． 水による冷却をどうやって考慮すればよいのか判りません．

Einstein さんのレス (2008/02/06(Wed) 18:10)

加える必要のある熱量Ｑは

１．水を加熱して温度を上げるための熱量Ｑａ ２．風船の中の水から水槽に逃げる熱量Ｑｂ

の合計値Ｑ＝Ｑａ＋Ｑｂ

です．もしＱｂ＝０ならばＱ＝Ｑａなので容易に求まります．水の比熱Ｃは４．２Ｊ／ｇ・Ｋですから，１ｃｍ＾３の水は１ｇなので，１度上げるのに必要な熱量は４．２Ｊです． １分間で５０℃まで上げるには，単位時間当たりに加える必要のある熱量は４．２Ｊ×（５０−２０）℃／６０秒＝２．１Ｊ／ｓｅｃ＝２．１Ｗと求められます．

問題はＱｂです．風船の壁を経由して逃げると仮定すると，モデルでは，一定の熱抵抗を通じて２０℃のところに逃げるということを考えねばなりません．熱は温度差に比例して逃げる量が決まります．

ものすごくモデルを単純に考えて，風船の厚みをＤとして，この厚みＤの間に温度差が生じるとします．そして，熱の伝えやすさの指標である熱伝導率ｋ，風船の表面積をＳとすれば，単位時間当たりに逃げる熱量は，

（ｄＱｂ／ｄｔ）＝ｋＳ×（ΔＴ／Ｄ）

ただしΔＴ＝Ｔｃ−ＴａＴｃ：風船内の水の温度，Ｔａ：水槽の水の温度

となります．つまり温度差に比例して逃げる熱量は増えることになります． 風船の水の温度は風船内の水の重さをｍとして，

Ｔｃ＝Ｑａ／（ｍＣ）＋Ｔａ

となります．（Ｔｃは初めＴａと仮定します） 今，ΔＴ＝Ｔｃ−Ｔａ等を使って上記の微分方程式からＱｂを消去すると，

ｄΔＴ／ｄｔ＝−（ｋＳ／ｍＣＤ）ΔＴ＋Ｐ／ｍＣ

となります．ここで， Ｐ＝ｄＱ／ｄｔ としました．Ｐは単位時間当たりに投入する熱量です．ヒーターなら電力［Ｗ］ですね．この微分方程式を解くと，

ΔＴ（ｔ）＝ＰＤ／ｋＳ×［１−ｅｘｐ｛−（ｋＳ／ｍＣＤ）ｔ｝］

になります． あとは，ｔ＝６０でΔＴ＝３０℃になるＰを求めればよいだけです．

現実には水の対流を考えたり，風船の周りの水の温度勾配を考えたりと単純ではありませんが，まあこれでも見当はつけられるでしょう．

くま さんのレス (2008/02/13(Wed) 16:32)

ご返答有り難うございました． 式は良く理解できました．

Ｑｂの方は風船の外側が常に２０℃，内側が常に５０℃ とすれば，単純になりますね．

さて問題は熱伝導率です・・・ 風船をウレタンなどの樹脂とした場合に 熱伝導率はどういう値なのか， ネットで調べてみても調べきれませんでした． 温度によって変化するといっても，どの程度の値なのか どこぞに記載されていないでしょうか？

Einstein さんのレス (2008/02/13(Wed) 17:15)

熱伝導率は検索すれば山のように情報が出ていますよ． たとえば水は約０．６Ｗ／ｍ・Ｋ，ゴムは種類によって違い，大体０．１５〜０．４の範囲に大抵あります．（特殊なものを除きます） 適当に０．２Ｗ／ｍ・Ｋ程度で計算してもよいのではないでしょうか．

yama さんのレス (2008/02/14(Thu) 13:45)

対流による熱の移動のほうが，熱伝導よりも影響が大きいのではないかと思いますが・・・．

Einstein さんのレス (2008/02/19(Tue) 18:29)

そうですね．ただ，私の書いた簡易モデルだと対流効果は最大限に生じるということになります．つまり，風船内のヒータで生じた熱は対流によりすばやく風船内全体に広がり一様な温度となる． 風船から流入してきた熱は対流によりすばやく運び出されて，風船境界面の水温は低いままに保たれるというわけです． したがって現実の系の場合にはこれで求めたヒーターに必要な熱量よりは少なくなるでしょう．