やかん さんの書込 (2004/08/19(Thu) 19:27)

山本明さん，はじめまして．やかんと申します． 私は物理が好きなのでこちらによくお邪魔してます． 残念ながら私の知識としては高校レベル（それ以下かも）なのですが いくつかお教えいただいてもよろしいでしょうか． 遠隔の物体間に重力（万有引力）が働くのは質量によってできた重力場（空間のゆがみ）がもう一つの物体に影響するから，とよく聞くのですが，重力子を交換し合っているから引力が働く，という事も聞いたことがあります．この二つの事は，解釈の違いであって，どちらでも説明がつく，という理論上のことなのでしょうか． だとすると重力子って，量子的に，エネルギー（質量）とかもあるんでしょうか． あと，一般相対論って，きっと難解な幾何学や行列の知識がないと，特殊相対論みたいに，なんとなくイメージ的にでも高校レベルで説明するって，やっぱり無理ですよね？無理難題で恐縮なのですが，もしお教えいただければ幸いです．

山本明 さんのレス (2004/08/19(Thu) 22:55)

やかんさん，はじめまして． ご質問の件ですが，回答にしばらく時間をください． 今日から実家に戻ってて，手元にパソコンがないもので・・・ 来週のはじめには返信いたします．

やかん さんのレス (2004/08/19(Thu) 23:50)

山本明さん，無理なお願い聞いていただき， 本当に有難うございます． ＞今日から実家に戻ってて，手元にパソコンがないもので・・・ ＞来週のはじめには返信いたします もちろん，お時間のあるときで結構ですので・・． ではご返事いただくのを楽しみにしております！

山本明 さんのレス (2004/08/24(Tue) 10:50)

返信，大変お待たせいたしました． 実は昨晩，投稿ボタンを押す前に書いていたものを全て消してしまうという暴挙に出てしまい，しばし呆然としてました．(私にとっては)２度目の書き込みなので(T^T)，簡潔に書かせてください． （…簡潔に書き出したんですが，結局長くなっちゃったんで，複数回に分けて投稿します）

まず，はじめに言い訳をさせてください． というのも私は「一般相対性理論を偉そうに語れるほど，ちゃんと理解していない」ということです．素粒子理論屋のくせに！といわれるとお恥ずかしい限りですが，重力の量子化について真剣に検討したこともなく，以下に書くことは間違っているかもしれません． このＨＰには，その道の専門家の方もいらしてそうなので，怖々と書き込みさせてもらいます．もし私の記述に間違いがありましたら，どうぞご指摘ください． そんなことはないように，最善は尽くしたつもりですけど．

山本明 さんのレス (2004/08/24(Tue) 11:04)

>遠隔の物体間に重力（万有引力）が働くのは質量によってできた >重力場（空間のゆがみ）がもう一つの物体に影響するから，とよ >く聞くのですが，重力子を交換し合っているから引力が働く，と >いう事も聞いたことがあります．この二つの事は，解釈の違いで >あって，どちらでも説明がつく，という理論上のことなのでしょうか．

解釈の違い…という表現は良いのか悪いのか……大体，以下のような違いです．

まず重力を扱う理論というと，ニュートン力学がありますね．これは「あまり速く運動していない」＆「それほど重くない」物体に対して，よい精度で実験結果と一致します．（ついでに付け加えるならば「それほど小さくない」物体に対して，です） だけど，もっと重い物体に対しては適用限界があります． それじゃあもっと重い物体に対しても成立する重力の理論はなにか？というと，一般相対性理論なんです．一般相対性理論というのは後で(多分)書くように，曲がった時空と物体の動きを規定しています．これが「時空間のゆがみの影響で重力が働く」という見方． この理論は，速く動いている＆重い物体に対しても，成立していると期待されています．だけど，物体の大きさについてはニュートン力学と同じように「それほど小さくない」物体に対してのみ成立する理論です． 重力の現象は，どれもこれも「大きい」物体同士の現象なんだから，小さいことなんて気にしないでいいじゃん！と思われるかもしれません．だけど，宇宙が発生してすぐのときは，宇宙はすごく小さかったかもしれません．そういう初期宇宙のことを考えるためにも，一般相対性理論を小さい物体に対しても成立するように改良しておくことは，悪くない考えでしょう．

大きい物体同士の関係を示している理論を，小さい物体に対しても成立するよう改良するためのやり方は，「量子化」と呼ばれる手法で，だいたいわかっています． なので一般相対性理論に現れる重力場（「計量」とも呼ばれる量で，時空がどれだけ曲がっているかに関係します）を，単純に“量子化”してしまうことにします．重力場を量子化したときに現れてくるのが，「重力子」と呼ばれる量子です． 電磁気力に対して「電磁波は，光子という粒子と波の両方の性質を持つものの集まりである．それらが電磁気力を媒介している」と考えるのと同じように，「重力子の集まりである重力波が，重力を媒介している」と考えます． つまり微視的な現象について考察するときは，重力子が媒介していると考える．けれど，巨視的な現象について考察する限りは，重力子をわざわざ考えなくても構わない．(その重力子が集まった)重力場を考えるだけで議論は片づく…ということです．“時空のゆがみで〜”という立場も，“重力子を交換して〜”という立場も，相反しているわけではないんですね．ただ考えている現象の大きさが違っているわけです．

ただし，“重力を単純に量子化したら重力子が現れる”…と書いたのですが，実はこの話はうまくいっていません．重力を単純に量子化してみると，「いざ観測可能な数値の予測値を計算しても，どれもこれも無限大になってしまって，なにも予測ができない」ってことがわかります．これは朝永先生の「繰り込み理論」を用いても解決できない問題です．なにも予測できないのでは，物理の理論としては問題大ありですね． だから時空間のゆがみで重力が〜という考えはいいのですが，重力子を交換して重力が働く…と考えるのは，まだ概念上のことだけで数学的にちゃんと定式化できていません．イメージとして，あながち外れていないだろうと考えられていますが，そういう説明の仕方はまだ時期尚早かもしれません．それほど多くは見かけないですよね??

そんなわけで，重力を量子化するということは，いまもって実現できていない困難な問題のひとつです．いろんな人が，挑戦を続けている部分です． ちなみに超弦理論を推進する立場の人は，超弦理論には量子化された重力場の理論が含まれているんだ！と期待して，解析を進めています．（そう期待するのには，それなりの根拠はあります）

山本明 さんのレス (2004/08/24(Tue) 11:32)

>重力子って，量子的に，エネルギー（質量）とかもあるんでしょうか．

エネルギーは持っています．質量はありません．静止質量が0ということです．この扱いは光子と同じですね．だから重力子(重力波)は真空中を光と同じ速さで伝播すると考えられています．

だとすると重力子が運び去るエネルギーはどうなってるのか？と思うかもしれませんね．日常生活で目にしている物体も，常に重力子を出し入れしていると考えられています．そして重力子が出ていけばその分エネルギーを失って，重力子が入ってくればエネルギーは増えるはずです． …だけど，その変化するエネルギーってのは，とっっても小さい値なんですね．理論的に予測される値も，現在の観測器具を用いてもさっぱり検出されないほど微量．（分子の熱運動の方が激しいくらい）． そんなわけで，普段は重力子によるエネルギーの変化なんて，気にする必要はありません．

この重力子(重力波)によるエネルギーの変化が観測できるようになれば，一般相対性理論の妥当性を示す根拠のひとつになるでしょう．私は詳しくありませんが，重力波を検出しようとする実験は世界中で試みられているようです．誰が一番早く検出できるかの競争中．

山本明 さんのレス (2004/08/24(Tue) 11:36)

>あと，一般相対論って，きっと難解な幾何学や行列の知識がないと， >特殊相対論みたいに，なんとなくイメージ的にでも高校レベルで説明 >するって，やっぱり無理ですよね？

イメージ的に説明する…というのがどういうことを指しているのか，ちょっとわからないです． 参考までに，一般相対性理論の概要を書いてみます．

・・・という書き出しで書いてたんですが，長くなり，なおかつまだ書ききらないのでちょっと間をおきます．またしばらくしたら投稿します．

やかん さんのレス (2004/08/24(Tue) 18:39)

山本明さん，本当に有難うございます．すごくよくわかりました！ お教えいただきとっても嬉しいです☆ ＞イメージ的に説明する…というのがどういうことを指しているのか，ちょ＞っとわからないです． 変な書き方をしてしまい，すみません．えーっと，うまく言えないのですが ”高校生向きに，”というつもりでした・・． ＞参考までに，一般相対性理論の概要を書いてみます． またお教えいただけるのを楽しみにしております！ 有難うございました．

山本明 さんのレス (2004/08/25(Wed) 00:05)

一般相対性理論の概要を書いてみます．

まずはっきりさせておきますが，物理というのは物体の動きを予測することを目的としています． 物体の動きを予測するとはどういうことかというと…それを考えるために，ちょっとグラフを描いてみましょう．横軸には位置を取り，縦軸に時間を取ります．それぞれの時刻における物体の位置に，印を付けていくわけです．その印はどんなものになるかというと，つなげていったらまず確実に1本の線になるはずです．物体が途中で分裂したり，ワープしたりしない限りは．そういう線のことを「世界線」と呼んでいます． 物体の動きを予測するというのは，その物体の位置が時間と共にどう変化するかを求める…つまり「世界線を決定する」ということです．物理の法則は(ひとまず)その世界線の性質を規定するものだと思ってください．（ひとまず，と書いたのは量子化を考えると，その辺が微妙な問題になってくるからです） それじゃあ，ニュートン力学は，どんな風に世界線の性質を決めているかというと「力が働いていない物体の世界線は，直線になる」という性質を規定しています．静止している（＝位置が変化しない）物体は時間軸と平行な直線になり，等速で運動している物体に対しては傾きが一定の直線になるはずです． 自由落下している物体の世界線はというと，これは曲線になりますね．正確には放物線になります．（曲線の形は，落下している物体の質量には依存しないってのは，面白いことかもしれません）

さて，ここで少し想像力を働かせてみましょう． 地面などなく，どこまでも自由落下していける場所を考えてみます．そして，そこで自由落下をしてみましょう．そうしたとき，自由落下をしている人物は，自分が自由落下をしていると気が付くでしょうか？ これはジェットコースターなどで，落下を始める瞬間にフッと無重力状態を感じるのと同じ状況です． ニュートン力学でも慣性力というのがありましたね．つまり自由落下している人にとっては，重力と慣性力が釣り合って，力をまるで感じない状態になるということです．つまり「自分が落下しているとは思わない」わけです．（後に厳密には，重力と慣性力が完全に打ち消しあうことはないとわかるのですが，そういう議論は置いておいて）これを「等価原理」と呼びます．

この「等価原理」が，一般相対性理論の大事な出発地点のひとつ． そしてもう一つ大事な出発地点となるのが「相対性原理」です．これは「どんな観測者から見ても，物理法則は同じ形で書けるはずだ！」という期待です．

これら「等価原理」（＝自由落下している人は，重力に気付かない）と「相対性原理」（＝誰から見ても物理法則は同じ形になる）を合わせると，「自由落下している人は重力を感じない→力が働いていないなら，静止しているか等速度で運動している→自由落下している人にとって，自分の世界線は“直線”になる」ということになりそうです．

だけど，そんな風に「傍から見たら曲線になっている世界線を，本人から見たら直線に見える」というそんな都合の良いことを数学で書き表すことができるのか…ということを検討してみると，なかなか良い物がありました．それが曲がった時空という考え方． （そんなわけで，一般相対性理論を勉強すると，もれなく曲がった空間の幾何学が付いてきます．なんのためにそんな勉強をしているのか，わからなくならないようにしましょう．等価原理と相対性原理を考え合わせた理論を表現するのに使えそうだからなんです）

曲がった時空だとなにがどう良いのかを軽く説明しますと，こんな感じです． 地球儀を思い浮かべてください．地球儀上の位置を示すために，緯度と経度を考えましょう．緯度の線を真っ直ぐな横軸，経度の線を真っ直ぐな縦軸にして，地球儀を平面に書き起こしてみます．これはメルカトル図法とかいう地図の書き方です． 地球儀のどこか好きな2点を選んでみてください．好きな2点といいましたが，赤道上にはない２点を選んでください．そして「その2点間を“直線で”結んでみましょう！」 ・・・・・． 地球儀上で「直線」と言われても，よくわからないですよね．そこで“直線”という言葉を止めにします．どうするかというと，「その2点間を“道のりが最短になるような線で”結んで」みてください．これならできますね．（ちなみに，平面上での直線ってのは，2点間を最短距離で結ぶ線だと考えることもできますね）．さて，そのように2点間の道のりを最短にする線のことを，数学では「測地線」と呼んでいます． 地球儀上の2点を結ぶ測地線を考えられたら，それをメルカトル図法の地図に書き入れてみましょう．どうなるでしょうか？ 赤道上の2点を結ぶ測地線ならば，メルカトル図法でも「直線」になります．経度が同じ2点を結んだ場合も，同じくメルカトル図法で「直線」になるはずです．だけど，それ以外の点同士を結ぶ測地線は，メルカトル図法では「曲線になっている」はずです．つまり「地球上の2点を直線的に(道のりが最短になるように)移動すると，本人にとっては直線的に移動しているのに，他の人(メルカトル図法の地図で眺めている人)から見たら曲線を描いているように見える」ということです． こういった話を，「等価原理」と「相対性原理」を合わせた議論に，使えるかもしれない！と期待します．自由落下している人にとっては「直線的に移動」していて，だけど別の人から見たら「曲がった線状に進んでいる」…行けそうな気がしません？

そこで，一般相対性理論では，ニュートン力学の世界線に対する規定：「力が働いていなければ，世界線は直線になる」という部分を，修正します．どうするかというと「力が働いていなければ，世界線は測地線になる」という風に書き換えます． そして横軸に位置，縦軸に時間を描くグラフ用紙を用意したときに，そのグラフ用紙自体はグニャグニャに曲がっていると考えるわけです．グラフ用紙に激しい起伏があるような状態をイメージしてください． 重力だけを受けて運動している人にとっては，（自分は重力を受けていると気付かない→力を受けていないのだから）常に世界線は測地線になる．だけど他の人の基準(座標系)で眺めてみると，その測地線は直線にはならずに曲がっている…というストーリーです． ある人にとっての基準(座標系)と書きましたが，それはその人の位置における接平面を考えて，その平面をその人が観測に使う座標系とみなす…ということをします．接平面というのは，考えているその一点で曲面と接している(法線ベクトルが平行になる)平らな面のこと．ちなみに，このそれぞれの人にとっての座標系は，それぞれ特殊相対性理論の要請を満足する(ローレンツ対称性がある)座標系であるとします．

測地線の形というのは，その空間（グラフ用紙）がどれくらい曲がっているかに応じて，決まってきます．その曲がり具合を決める手段を，一般相対性理論では与えようと考えます．空間の曲がり具合に関する方程式を立てようと試みるわけです． どんな空間の曲がり具合でも良いかというと，そうもいかない．単純な条件を設けます．それは「重力が弱いとき(空間の起伏が少ないとき)には，ニュートン力学を再現するように」ということ． こういう条件を満たしつつ，空間の曲がり具合を示す方程式を立てようと試みると，答えは複数ありうるそうです．まあ，どれが正しいのかはよくわからないので，じゃあ一番「単純な形」をしているものを選んでおきましょう．…ってな流れで，出てくるのが「アインシュタイン方程式」です． アインシュタイン方程式によって，それぞれの位置での空間の曲がり具合が決まります．それがわかったら，その曲がった空間上での測地線を描いて，物体はその測地線を世界線として運動する…と考えます． まあ大雑把な話ですが，それが一般相対性理論による重力理論です．

ちなみに「相対性原理」は別に重力理論に限らないものです．どんな観測者にとっても物理法則は同じ形で書けるだろうという主張は，大抵の分野で期待されている内容です．

山本明 さんのレス (2004/08/25(Wed) 00:09)

えぇっと…かなり長くなっちゃいました・・・正常に処理されないんじゃないかって不安でした．管理人さん，ごめんなさい．

言い訳を繰り返しますが，私は一般相対性理論についてはしっかりした知識を持っていません．専門用語なども間違いなく使うように心がけましたが，間違ってる箇所があっても，許してください．（というか，間違ってる箇所があったら教えてください） 思いの外，大作になったので，いずれ私のホームページ用に書き足して公表しようかなぁ…なんて思っています．読んだ感想など，あったらお願いします．どんなところがわかりにくい，とか．

今回は私にとっても，とても勉強になりました…(笑) どうもありがとうございました．

やかん さんのレス (2004/08/25(Wed) 00:27)

山本明さん，あっ，有難うございます！ ご説明ものすごくよくわかりました！ 一度どなたかにお聞きしよう，お聞きしよう，と思っていたのですが， テンソル（行列？）なんてわからないし，私が聞いたらおかしいかなあ， なんて思っていたので感激しました!(^^)! それに素粒子がご専門とのことで，やや専門外の事をお聞きしてしまい， でもそれにも関わらず，こんなに豊富で判りやすく，教えていただき なんと御礼を申し上げてよいか・・．きっと，またいろいろお聞きしてしまうかと思いますが，今後ともよろしくお願いいたします．有難うございました．

崎間@管理人 さんのレス (2004/08/27(Fri) 04:50)

大作ですねー．山本明さん，やかんさん，お疲れさまです． 読むのが遅くなってしまいました．僕も質問便乗してよろしいでしょうか．

> それらが電磁気力を媒介している」と考えるのと同じように，
> 「重力子の集まりである重力波が，重力を媒介している」と考えます．

なのですが，「媒介する」と「粒子の出し入れ」と「力」の関係について， 僕ははっきりしたイメージをもっていません． よろしければ，ポインタでもいいので教えてくださるとうれしいです．

山本明 さんのレス (2004/08/31(Tue) 22:17)

お返事すっかり遅くなりました．

>なのですが，「媒介する」と「粒子の出し入れ」と「力」の関係について， >僕ははっきりしたイメージをもっていません．

んーと，改めて聞かれると難しいですね…(笑) 物理を専攻していない人には，よく次のような説明をします．

これはゲージ粒子という粒子を，キャッチボールしているような状態． 野球の球を投げたら，投げた人はボールを投げた反動を受けるよね？ ボールを受けた人は，またボールを受けた反動を受けるよね？ これは野球のボールが，キャッチボールをしている二人の間を行き交って，力を伝達しているように見えるでしょ．それと同じことが素粒子の間でも起きているってわけ．

・・・といっても，物理を専攻している人には納得してもらえないかなぁ． 式で書くと，物質場Ψに対して，ゲージ場をＡと書いたら，ラグランジアンのなかに，bar{psi}(x) A(x) psi(x) のような項が入っているということです．ΨやＡが同じ位置(x)で影響を与え合っているというのは，ここから分かると思います． で，場を量子化するというのは，ΨとかＡといった場を「いろいろなエネルギーを持った量子の生成・消滅演算子の和で表す」ということ． なので，例えば「ある場所の物質が消えてそれがゲージ粒子を生成，それが空間を渡っていく．消えた物質があったその隙間には同種の物質が割り込んでくる（＝引力が働く）」…というようなイメージはどうでしょうか．さらに「飛んでいったゲージ粒子は，別の場所で反物質や物質を生成する」…と． わかりにくかったら，また指摘してください．指摘されても答えられるかわかりませんけど．

崎間@管理人 さんのレス (2004/09/02(Thu) 15:06)

ご回答ありがとうございます． キャッチボールのイメージつかめました． 粒子が力の情報を伝えてるような感じですね． 物質場Ψとゲージ場Ａについても， 一応のイメージはなんとかつかめました． これ以上質問してしまうと， 僕の能力では回答について行けなさそうなのでやめておきます(^^;

直接質問に答えていただくことで， 素粒子理論を身近に感じることができました． どうもありがとうございました．またよろしくお願いします．