テンソルの微分計算について

よしぼーさんの書込 (2008/01/11(Fri) 02:40)

テンソルの微分計算についての質問です．

$\frac{\partial{x_i}}{\partial{x_k}}=\delta_{ik}$ （ただし，δはクロネッカーのデルタ）は当たり前に理解できるのですが， $\frac{\partial{x^2_i}}{\partial{x_k}}$ だとどうなるのでしょう？

分からないのは， $\frac{\partial{x^2_i}}{\partial{x_k}}= \frac{\partial{x^2_i}}{\partial{x_i}} * \frac{\partial{x_i}}{\partial{x_k}} =2x_i * \delta_{ik}$ ここまではあっていて，この式の意味は要するに i=kなら 2x_i (=2x_k ) ，i≠kなら0，となって正しいと思います．

ここで，クロネッカーのデルタのいわゆる"指標の置き換えの約束"を使うと $2x_i * \delta_{ik} =2x_k$ とできると思うのですが，

$\frac{\partial{x^2_i}}{\partial{x_k}}= 2x_k$

‥これって何だかおかしいような気がします（"i≠kなら0"が表現できていない？）．

すいませんが，どなたか解説をお願いいたします．

Re: テンソルの微分計算について

わたなべさんのレス (2008/01/11(Fri) 03:10)

足し算の記号を省略せずに書けば，分かると思います．あいは，

x_i*x_i = x_1*x_1+x_2*x_2 + x_3*x_3 + ...

と書いて，x_kで微分してやります．分かりやすいようにk=2としてみます．結果は，当然

d(x_i*x_i)/dx_2 = 2*x_2

です．kが2以外のときも同様なので，いっぱんには

d(x_i*x_i)/dx_k = 2*x_k

です．慣れないうちは，アホみたいだと思わず，こんな風にやればすぐ分かることもあります．

Re: テンソルの微分計算について

よしぼーさんのレス (2008/01/11(Fri) 03:24)

>わたなべさん

ご回答ありがとうございます．私が質問したいのは x^2_i についてです．貴方は x_i*x_i についてお話をされていますが， $x^2_i \neq x_i*x_i$ ではないでしょうか？

x_i*x_i だと，iについて総和規約が適用されて確かに貴方が言われているようなことになりますが，すいませんが，ここでの質問とは違うような気がするのですが…

Re: テンソルの微分計算について

yama さんのレス (2008/01/11(Fri) 08:40)

$2x_i*\delta_{ik}=2x_k$ はiについて総和をとる場合に成り立つ式であって，総和をとらない場合には成り立ちません．つまり総和記号が省略されていると考えないといけません．また，をと表すこともあります．

従って，わたなべさんがiについて総和をとるものと考えられたのは当然です．

Re: テンソルの微分計算について

よしぼーさんのレス (2008/01/11(Fri) 18:07)

>yama さん

ご回答ありがとうございます．

申し訳ありませんが，まだうまく理解できていません．あなたのご回答の趣旨を確認させていただきたいのですが，

?私の最初の書き込みで $2x_i * \delta_{ik}$ としたところまでは正しいのでしょうか？

? > $2x_i * \delta_{ik}=2x_k$ はiについて総和をとる場合に成り立つ式であって，総和をとらない場合には成り立ちません．

と言われているのは，私の最初の書き込みで $2x_i * \delta_{ik}$ のところまで書いて，"但し，総和はとらない" と注釈にでも書くのが正しい，ということでしょうか？大学では，単に"指標の置き換えの約束"だけを言われたので，とにかく機械的にやってよいのだと思っていましたが，そうではないということですね．

それで正しいということでしたら，この質問自体は解決なんですが，

http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/ 行列と総和規約.pdf

の34pとかはどうなのでしょう．ここにも， $x^2_i \neq x_i x_i$ と書いてありますし，少なくとも $x^2_i \neq x_i*x_i$ だと思っていました．

そこに書いてあるとおり， x^2_i だと，iは一回のみ出てくるため，それが総和規約が適用されるiと解釈することになる理由がよく分かりません．（それでは，例えばi=1など，特定のiについて x_i^2 とか言いたい場合にはどのようにされるのですか？などの疑問が湧いてきます）

Re: テンソルの微分計算について

yama さんのレス (2008/01/12(Sat) 00:07)

?その通りです．iについて総和をとる場合もとらない場合も，そこまでは正しいですね．

?その通りです．

?総和規約というのは，国際的な規則や取り決めではなく慣用的なものなので，文献によって多少異なる扱いをすることがあります．ご紹介のサイトでは，文字として実際に２回現れる添字についてのみ総和記号を省略することにしているようですね．それに対して， x_i^2 を x_i*x_i の略記であるとして，総和記号を省略している文献もあります．たとえば「ランダウ=リフシッツ力学」では，慣性テンソルが

$I_{ik}=\int\rho(x_l^2\delta_{ik}-x_ix_k)dV$

のように定義されていますが，ここではについての総和記号が省略されています．

いずれにしても，総和をとる場合ととらない場合を，断りなしに混在させるのはよくないと思います．誤解を招くおそれがある場合はきちんと注記すべきでしょう．

Re: テンソルの微分計算について

よしぼーさんのレス (2008/01/12(Sat) 01:18)

>yama さん

ご回答ありがとうございます．

私のもともとの疑問は解決できました． ?についてもよく分かりました．ご紹介頂いたような立場の文献もあるというわけですね．いずれにしても状況に応じて考えないといけないわけですね．

質問して本当に良かったと思います．ご回答いただいた方，どうもありがとうございます．

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