ガウスの定理

ガウスの定理

るい さんの書込 (2008/01/06(Sun) 21:46)

わかりません．．

ベクトル関数J＝（xy,y^2.z）について，ガウスの積分定理の左辺および 右辺を別々に計算し，等価であることを確認せよ． ただし，閉局面Sおよびその中に含まれる領域Vは

S；x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1

V;x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2<=1

で与えられる． 何度も読みましたけどわかりません． 教えてください．

Re: ガウスの定理

tip★ さんのレス (2008/01/07(Mon) 09:59)

閉曲面Sの面積と閉曲面Sの法線ベクトル，領域Vの体積を求めることができたら，この問題は解けそうですね．

簡単のために，まずは，半径ｒの球でやってみたらどうですか？

Re: ガウスの定理

るい さんのレス (2008/01/07(Mon) 23:22)

返事ありがとうございます．

法線ベクトルや面積，体積はどのようにしてもとめるのですか？

よければもう少し詳しくお願いできませんか？？

Re: ガウスの定理

yama さんのレス (2008/01/08(Tue) 17:09)

面積や体積は計算しなくてもよいと思います．ガウスの定理なので

\int_V\nabla\cdot\bm JdV=\oint_S\bm J\cdot\bm n dS

すなわち

\iiint\left(\frac{\partial J_x}{\partial x}+\frac{\partial J_y}{\partial y}+\frac{\partial J_z}{\partial z}\right)dxdydz=\iint(J_xdydz+J_ydzdx+J_zdxdy)

が成り立つことを示せばいいでしょう． 両辺をそれぞれ計算して等しいことを示すのですが，そのためには

x=ar\sin\theta\cos\phi,\quad y=br\sin\theta\sin\phi,\quad z=cr\cos\theta

と置いて，変数を r,\theta,\phi に変換して計算すればいいでしょう． 曲面S上では当然 r=1 です．

Re: ガウスの定理

tip★ さんのレス (2008/01/09(Wed) 01:35)

yamaさん，フォローありがとうございます．

yamaさんの言うとおりですね．

Re: ガウスの定理

るい さんのレス (2008/01/09(Wed) 13:56)

二人ともありがとうございました．

おかげで解くことができました．．