ｋｏｍａｇａｔａｋｅ さんの書込 (2007/12/29(Sat) 21:47)

ご意見をお聞かせください．

問題 長さＬ，質量Ｍの物体を壁に斜めに立てかけます．床に対しての角度をθとします．床との間の静止摩擦係数をμ１，壁との間の静止摩擦係数をμ2とします． （１）壁から棒に働く垂直抗力，床から棒に働く垂直抗力を求めよ． （２）立てかけても滑らないときの角度の範囲を求めよ．

重力の加速度の値をｇとします．棒は均一で重心が中央にあります．

（１）図を書くとよくある問題だと思われるでしょう．でも普通は壁との間には摩擦はないものとするという内容になっています． 私は単に計算を簡単にしているだけだと思っていました．ふとやってみる気になって式を立てると出来ません．釣り合いの限界の角度よりも大きいときは上下，左右の釣り合いとモーメントと式は３つしかありません．求める量は摩擦力２つ，垂直抗力２つで４つです．何か隠れている条件を考えないとだめなようです．

「物理教師がよく出会う問題」という題でこれを議論しているのがありました．

• http://www2.hamajima.co.jp/~tenjin/ypc/ypc07x.htm

棒の弾性変形を使うと解くことができると書いてあります．でもうまく解けません． そこに合わせて載っている問題がヒントのようですが事情が違うように思います．

その問題は 長さＬの棒の両端ＡＢを固定します．中央のＣにＡの方向に力Ｆを加えます．固定点Ａ，Ｂに働いている力ＦＡ，ＦＢはいくらか．

Ｆ＝ＦＡ＋ＦＢは分かりますがそれ以上は条件不足です．

弾性変形を考えると力が決まると書いてあるのです． そのときにＡＣ区間は縮んでいるがＣＢ区間は延びている．材質が同じで棒が均一だとすると伸びの大きさと縮みの大きさが等しければ力は同じだということがでてきます．（この考え方はＣが中点でなくても当てはめることができます．） でもこれは両端固定という条件が効いています．ＡＣの縮みの大きさとＢＣの伸びの大きさが等しいというのはここから出てきています．

壁に立てかけた棒は摩擦があっても固定ではないと思います．変形を考えるような条件であれば立てかけて釣り合いが実現する段階で既に変形が起こってしまっているとしなければいけないような気がして行き詰まりました．

（２）の限界の角度を求める問題では摩擦係数を使うことが出来ますので式が２つ増えます．解くことができます．式は５つになりますので垂直抗力２つ，摩擦力２つ，角度と５つの量が決まります．でも床と壁が同時に静止最大摩擦になっているというところが「本当だろうか？」という気がします．角度を変えていったときにどちらか片方でまず最大摩擦になる，ついで両方が最大摩擦になってから釣り合いが破れるのではないだろうかと思うのです．でも動きがないのですからこういう２段階の変化が起こるというのはおかしいともいえます．いきなり同時に限界になるというのも２段階で起こるというのも「？」です．これも上ででてきたような変形のようなものが関係するのかもしれません．

正直なところ分からないことばかりです．

yama さんのレス (2007/12/30(Sun) 01:17)

問題が解けないと言うよりも，解が一意的に決まらないということでしょう． つまり解がないのではなく，無数にあって１つに決められないということですね． １つに決めるには条件が足りないのでしょう．

私も簡単な問題を作ってみました．

「軽く変形しない棒の両端と中点にそれぞれ糸をつけて棒が水平，糸が鉛直になるようにつり下げる．棒の中点に質量mのおもりをつり下げたとき，それぞれの糸の張力を求めよ．」

この問題では中点の糸の張力と，両端の糸の張力の比が任意にとれるので，解は一意的には決まりません． そこで問題を次のように変えてみました．

「軽く変形しない棒の両端と中点にそれぞればねをつけて棒が水平，ばねが鉛直になるようにつり下げる．棒の中点に質量mのおもりをつり下げたとき，それぞれのばねが引く力を求めよ．但し，３つのばねの自然の長さは等しく，ばね定数は中点のばねがk，両端のばねがk'とする．」

これだったら，但し書きの条件から力の比が決まるので，解が一意的に決まりますね．

このような例から考えると，棒を壁に立てかける問題も条件不足で解が一意的にきまらないわけなので，棒の弾性的性質などなんらかの条件をつけ加えることによって，解が一意的に決まるようになるだろうとは予想されます． しかし，その場合でも解くのはちょっと難しそうですね．

>長さＬの棒の両端ＡＢを固定します．中央のＣにＡの方向に力Ｆを加えます．固定点Ａ，Ｂに働いている力ＦＡ，ＦＢはいくらか．

この問題は棒をばねで置き換えて考えるとよいのではないでしょうか．両端を固定したばねの中央に力を加えれば両端の力は等しくなりますが，中央以外の点に力を加えた場合は両端の力は等しくなりません．棒の場合も同様だと思います．

棒を立てかける問題に返ると，ご紹介のサイトでは棒の延び縮みだけしか考慮していないように見えますが，棒が曲がることは考えなくてもいいのかと疑問に思います．両端を固定していても曲がれば長さが延びるのですが．

>壁に立てかけた棒は摩擦があっても固定ではないと思います．変形を考えるような条件であれば立てかけて釣り合いが実現する段階で既に変形が起こってしまっているとしなければいけないような気がして行き詰まりました．

確かにそれも考えられますね．それを考えると問題はかなり複雑なものになりそうですね．

摩擦力が同時に最大になるかどうかというのも，一意的には決まらないように思います．どちらだと考えても辻褄が合いそうだからです．

ｋｏｍａｇａｔａｋｅ さんのレス (2007/12/30(Sun) 07:12)

ｙａｍａさん ありがとうございます．

ややこしそうですね．

どんな棒であるにしろ棒を立てかければ抗力は１通りに決まっているはずです．それを決める条件が見つからないというのはすっきりしないものがあります．

yama さんのレス (2007/12/30(Sun) 08:57)

摩擦力についてですが，同時に最大になるかどうか決まらないのは棒を剛体と考えた場合ですね．剛体の棒では両端が同時に動くからです． しかし棒が変形できる場合は，両端同時に動く必要はなく一端だけが動く（滑る）ことも可能です． 従って変形できる棒では，摩擦力が同時に最大になることは一般には起こらないように思います．