ケットブラ？

home > 掲示板 >

このページのPDF版

サイトマップ

ケットブラ？

カイさんの書込 (2007/12/05(Wed) 23:46)

ブラケットはベクトルの内積と同じだから，スカラーになるのはわかるのですが |m><n|みたいになっているのは，どうやって計算するのでしょうか？縦ベクトル×横ベクトルになると思うのですが．

Re: ケットブラ？

toorisugari no Hiro さんのレス (2007/12/06(Thu) 11:46)

行列(=演算子)です．

$| a \rangle &\Leftrightarrow \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots\end{pmatrix}\\\langle a | &\Leftrightarrow \begin{pmatrix}a_1 & a_2 & \cdots\end{pmatrix}\\\langle a | b \rangle &\Leftrightarrow \begin{pmatrix}a_1 & a_2 & \cdots\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots\end{pmatrix}=(a_1b_1+a_2b_2+\cdots)\\|a \rangle\langle b |&\Leftrightarrow \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1 & b_2 & \cdots\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots\\a_2b_1 & a_2b_2 & \cdots\\\vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix}$

Re: ケットブラ？

カイさんのレス (2007/12/06(Thu) 19:29)

ありがとうございます． Σ|j><j|=1っていう公式がありますよね？|j><j|が行列だとすると行列の和，ということになりますが，なぜそれが1(=スカラー)になるのでしょうか？

Re: ケットブラ？

toorisugari no Hiro さんのレス (2007/12/06(Thu) 19:48)

> Σ|j><j|=1っていう公式がありますよね？|j><j|が行列だとすると行列の和，ということになりますが，なぜそれが1(=スカラー)になるのでしょうか？

演算子としての1

$\sum_{j}|j \rangle\langle j | &\Leftrightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots\\0 & 1 & 0 & \cdots\\0 & 0 & 1 & \cdots\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix}$

つまり単位行列です．

Re: ケットブラ？

カイさんのレス (2007/12/07(Fri) 12:00)

返信遅くなり申し訳ありません．何度もすみません．行列の理解が全然できていなかったので，本を読み直してみたのですが行列の積の定義は

$\sum_{l}a_{i,l} b_{l,j}$

ですよね？今の場合，ケットは1列，ブラは1行なので l=1 で，ベクトルの成分を具体的に a_j と表示することにするとケットブラの行列要素は

$\sum_{1}a_{j,1} a_{1,j}=a_ja_j=|j><j|$

となるように思います．そうすると，

$\sum_{j}|j><j|=1$

という式のΣの添え字はjではなく1であり，1ならΣはいらないような気がするのですが，どこが間違っているのでしょうか？

Re: ケットブラ？

toorisugari no Hiro さんのレス (2007/12/07(Fri) 12:44)

> ベクトルの成分を具体的に a_j と表示することにすると

ここをいい加減にしたらいけません． $|j\rangle$ の成分は (j)_i とすべきです．あるいは，クロネッカーのデルタを使うべきです．

Re: ケットブラ？

カイさんのレス (2007/12/07(Fri) 14:33)

ブラケットを理解できていませんでした．重大なミスでした．そうすると，

$|j><j|=(j)_{i,1}(j)_{1,i^{'}}$

で，もし規格化されていたのならば $\delta_{i,i^{'}}$ となります．つまり，単位行列になるということは理解できるのですが，そうするとΣは必要ないのではないのですか？|j><j|だけで単位行列要素を表せてしまっているように思えます．もし，ベクトルが規格化されていなかった場合，iが一致するところは $j^{*}j$ でその他は0の対角行列になりますが， $\Sigma_{j}$ ということは，その対角行列を全てのjについて足し合わせろ，ということなのでしょうか？

Re: ケットブラ？

カイさんのレス (2007/12/07(Fri) 14:45)

書いていてわかったのですが，もしかして，行列要素 j^*j の部分を全て足し合わせると

$\Sigma_{j} {|j|}^2$

になって，これは波動関数の性質より，1になる．それで，対角行列を全てのjについて足し合わせると，単位行列になるってことですかね？

つまり，「行列の積の定義式に出てくるΣ」と「今考えているケットブラの式のΣ」は全く別のものであった．ということなのでしょうか？

Re: ケットブラ？

toorisugari no Hiro さんのレス (2007/12/07(Fri) 15:50)

> $|j><j|=(j)_{i,1}(j)_{1,i^{'}}$ > で，もし規格化されていたのならば > $\delta_{i,i^{'}}$ となります．

なりません． $|j\rangle\langle j|$ の (i,i') 成分は $\delta_{i,j}\delta_{j,i'}$ ( で和はとらない．)です． # 演算子 $\hat A$ の (i,j) 成分とは $\langle i|\hat A|j\rangle$ です．

和をとってはじめて

$\left(\sum_{j}|j\rangle\langle j|\right)_{i,i'} &= \sum_{j}\langle i|j\rangle\langle j|i'\rangle\\&= \sum_{j}\delta_{i,j}\delta_{j,i^{'}}\\&= \delta_{i,i'}$

です．

Re: ケットブラ？

カイさんのレス (2007/12/13(Thu) 22:36)

返信おくれて大変申し訳ありません．まだ感覚が完全には掴めていませんが，この件については納得できました．ありがとうございました．

[home] [掲示板] [ページの先頭]