球面正弦定理の導出について

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球面正弦定理の導出について

ぱにぽんさんの書込 (2007/11/16(Fri) 11:19)

注：→付きベクトルの表現が難しいので，→は省略させていただきました．以後，OAとOBとOCは全てベクトルと見なして読み進めてください．

球面正弦定理の導出の中で使われていた， [OA・(OB×OC)]OA＝[OB・(OC×OA)]OB＝[OC・(OA×OB)]OC という関係は成り立たないのではないのでしょうか？

三重積の説明では OA・(OB×OC)＝OB・(OC×OA)＝OC・(OA×OB) が成り立つということですが， OA＝OB＝OC は成り立たないように思います．

ただ |OA|＝|OB|＝|OC|＝１ということでしたし，この式を使っても同じ結果が導けるので，こちらの式に訂正すべきだと思います．

Re: 球面正弦定理の導出について

toorisugari no Hiro さんのレス (2007/11/16(Fri) 11:51)

http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/SphereTriangle/

の件ですね．

# 著者のJohさんが回答されるのが筋ですが，typoの類なので，私でも答えられます．

$\frac{\sin \alpha}{\sin a} &= \frac{[\vec {OA} \cdot (\vec {OC} \times \vec {OB})]\vec {OA}}{\sin a \sin b \sin c} \\ &= \frac{[\vec {OB} \cdot (\vec {OA} \times \vec {OC})]\vec {OB}}{\sin a \sin b \sin c} = \frac{\sin \beta}{\sin b} \\ &= \frac{[\vec {OC} \cdot (\vec {OB} \times \vec {OA})]\vec {OC}}{\sin a \sin b \sin c} = \frac{\sin \gamma}{\sin c}$

のことですね．確かに絶対値が抜けてます．typoです．

$\frac{\sin \alpha}{\sin a} &= \frac{\left|[\vec {OA} \cdot (\vec {OC} \times \vec {OB})]\vec {OA}\right|}{\sin a \sin b \sin c} \\ &= \frac{\left|[\vec {OB} \cdot (\vec {OA} \times \vec {OC})]\vec {OB}\right|}{\sin a \sin b \sin c} = \frac{\sin \beta}{\sin b} \\ &= \frac{\left|[\vec {OC} \cdot (\vec {OB} \times \vec {OA})]\vec {OC}\right|}{\sin a \sin b \sin c} = \frac{\sin \gamma}{\sin c}$

そして，ご指摘のように

$\frac{\sin \alpha}{\sin a} &= \frac{\left|[\vec {OA} \cdot (\vec {OC} \times \vec {OB})]\vec {OA}\right|}{\sin a \sin b \sin c} \\ &= \frac{\left|\vec {OA} \cdot (\vec {OC} \times \vec {OB})\right|}{\sin a \sin b \sin c} \\ &= \frac{\left|\vec {OB} \cdot (\vec {OA} \times \vec {OC})\right|}{\sin b \sin c \sin a} = \frac{\sin \beta}{\sin b}\\ &= \frac{\left|\vec {OC} \cdot (\vec {OB} \times \vec {OA})\right|}{\sin c \sin a \sin b} = \frac{\sin \gamma}{\sin c}$