微分方程式

微分方程式

じゃこび さんの書込 (2007/10/30(Tue) 12:09)

微分方程式についての質問です．少し修正しました．

d^{2}y/dt^{2}=-1/(ky+1)^{2}

k は定数で， k<<1 t=0 において dy/dt=1 ， y=0

t=0 において dy/dt=1 との条件から

dy/dt=-t/(ky+1)^{2}+1

ここからの解き方が解りません．

よろしくお願いします．

Re: 微分方程式

toorisugari no Hiro さんのレス (2007/10/30(Tue) 19:37)

> 条件から > dy/dt = 1 - t/(ky+1)2 > ここからの解き方が解りません．

この式は意味不明です．微分しても与式になりません． この式はどこから出たのでしょうか?

# たぶん「正しい」やり方は，エネルギー積分の手法で一回積分し，変数分離形に持っていくものだと思いますが．．．根号のはいった有理式の積分はつらい．．．

Re: 微分方程式

じゃこび さんのレス (2007/10/30(Tue) 22:43)

内容に間違いがあり直しました． 大変申し訳ありません．

訂正後も，エネルギー積分の手法でしか解けないでしょうか？ よろしくお願いします．

Re: 微分方程式

toorisugari no Hiro さんのレス (2007/10/30(Tue) 22:48)

TeXで書いてもらってうれしいです．

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\frac{t}{(ky+1)^{2}}+1

この式を微分しても，

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{1}{(ky+1)^{2}}

にはなりません．何故ならば， y=y(t) だからです．

# 正直，このような躓き方をしている方にはこの問題(問題は間違ってませんか?)は荷が重いと思います．かなり，難しい部類の問題だと思います．

Re: 微分方程式

なんとなく さんのレス (2007/10/31(Wed) 01:20)

じゃこびさん，初めまして，なんとなくです．

Hiroさんの言われることは尤もだと思いますが，出題の背景や本人の事情もあることでしょう．TEXでなくて申し訳ないですが，横レスでHint.を書きます． <Hint.> (1)与式のky(t)+1=ξ(t)と変数変換し，次式を得る． ξ''+k/ξ^2=0（以下，微分を'で表す） (2)両辺にξ'を掛けると， ξ'ξ''+kξ'/ξ^2=0 これは， d/dt{(ξ')^2/2-k/ξ}=0 と書けるので，｛・・｝は定数C（tによらない） ∴(ξ')^2/2-k/ξ=C（これが一回積分してあり，エネルギー積分です） このCは初期条件から決定できます． (3)上式は一階微分方程式であり，どの教科にもよく出ている変数分離法で解けま す． Hiroさんの言われた根号の積分が少し面倒ですが，公式集であたればいいでしょう．ここまでが理解できれば，あとは自力でできると思います．頑張って．