微分記号

微分記号

yamainu さんの書込 (2007/07/22(Sun) 15:26)

こんにちは．よくこのサイトを参考にさせてもらってます 質問があります． 微分方程式のところを見ていた時， 両辺にdxをかける，という表現がありましたが，このような計算を していいのはなぜですか？dy/dxで一つの記号ではないのでしょうか

dy/dxを分数のように扱うのはぼくも自然とやっていたのですが， イマイチわからなくなってきました

Re: 微分記号

zoro さんのレス (2007/07/22(Sun) 17:13)

yamainuさん，初めまして．

数学はあまり詳しくないのですが，手元に今年度の高校の教科書，「新編 数学III，数研出版，ISBN4-410-80165-1」があり，そのp137に，「発展学習指導要領の範囲外の内容／3. 微分方程式」のなかに，次の様な例題が示されていますので引用します．

〜〜〜〜引用開始〜〜〜〜

● 例６kを常数とする時，次の微分方程式を解いてみましょう．

y'=ky \tag{1}

[1] 定数関数 y=0 は明らかに解である． [2] y \ne 0 のとき，方程式を変形すると

\frac{1}{y}\cdot \frac{d y}{d x} = k \tag{2}

よって

\int \frac{1}{y}\cdot \frac{d y}{d x}d x = \int k\ dx \tag{3}

左辺に置換積分法の公式を適用すると

\int \frac{1}{y}dy = \int k\ dx \tag{4}

故に...．

以下略．

一般に，

f(y)\frac{dy}{dx}=g(x), \tag{a}

の形に変形出来る微分方程式の解は，次の等式から求める事が出来る．

\int f(y)dy=\int g(x)dx. \tag{b}

〜〜〜〜引用終了〜〜〜〜

私見では，式(a)と式(b)の間には，式(a)の辺々に dx を掛けると，

f(y)dy=g(x)dx, \tag{b'}

のように，左辺は y だけの関数，右辺は x だけの関数に分離出来るので，次式のように左右独立に積分が可能となる．

＃このような場合を，変数分離型の微分方程式と呼ぶ．

といった説明の方が，直裁であるように思います．

〜〜〜

元に戻って，式(1)，

\frac{dy}{dx}=ky \tag{1}

の辺々に dx を乗じ，yで除すれば，；

\frac{1}{y}d y = k\ dx \tag{2'}

だから，辺々を，それぞれ独立に積分出来るので，次の式(3)が得られる，以下略．

とした方が，式の視認性は向上すると思います．

〜〜〜

詳しくは，数学の詳しい方のご説明をお待ち下さい．

Re: 微分記号

Joh さんのレス (2007/07/23(Mon) 01:46)

yamainuさん，

（yが微分可能で，dy/dxが一つの値に決まるという前提のもと）dy/dxは，dyとdxの分数だと思ってよいです．微分とは，そもそも?yと?xの比の極限です．この記号法はライプニッツ考案によるものですが， \dot {x} と書くニュートンのものよりも，分数のように計算できるという点で便利だし，微分の意味が明快だと思います．