テンソル

テンソル

kenta さんの書込 (2007/07/13(Fri) 17:44)

はじめましてkentaといいます． 分からないことがあります．教えていただけたら幸いです．

Tνμ を二階共変テンソル（の成分），Ｕ＾ν，Ｕ＾μを（反変ベクトル（の成分）としたとき，TνμＵ＾νＵ＾μがスカラーとなることがわからないのですが・・・ Tν'μ'Ｕ＾ν'Ｕ＾μ'=TνμＵ＾νＵ＾μ

どう，導き出せばいいのでしょうか．＾は上付きです．

よろしくお願いします．

Re: テンソル

toorisugari no Hiro さんのレス (2007/07/13(Fri) 23:21)

U^\nu が反変ベクトル成分であるための条件は何ですか?

V_\mu が共変ベクトル成分であるための条件は何ですか?

Re: テンソル

tonda さんのレス (2007/07/24(Tue) 15:26)

返信が遅れてすみません．

共変ベクトル成分であるための条件は，基底ベクトルと同一の変換式に従うベクトルであること． 反変ベクトル成分であるための条件は，添字の上下を逆転させた変換に従うベクトル．

とは違うのでしょうか・・・？？

Re: テンソル

toorisugari no Hiro さんのレス (2007/07/24(Tue) 16:14)

> 共変ベクトル成分であるための条件は，基底ベクトルと同一の変換式に従うベクトルであること． > 反変ベクトル成分であるための条件は，添字の上下を逆転させた変換に従うベクトル．

それを式で表現すればよいわけです．

正確には(3次元ユークリッド空間で考えると)，曲線座標系 \{x^1,x^2,x^3\} に対して，ベクトル \bm{a} の 反変ベクトル成分 a^i は基底を

\left\{\bm{g}_1,\bm{g}_2,\bm{g}_3\right\}\equiv\left\{ \frac{\partial \bm{r}}{\partial x^1},\frac{\partial \bm{r}}{\partial x^2},\frac{\partial \bm{r}}{\partial x^3}\right\}

でとった成分( \bm{a}=\sum_{i=1}^3 a^i\, \bm{g}_i )， 共変ベクトル成分 a_i は基底を

\left\{\bm{g}^1,\bm{g}^2,\bm{g}^3\right\}\equiv\left\{ \nabla{x^1},\nabla{x^2},\nabla{x^3}\right\}

でとった成分( \bm{a}=\sum_{i=1}^3 a_i\, \bm{g}^i )， であり(直角座標系では \left\{\bm{g}_1,\bm{g}_2,\bm{g}_3\right\}=\left\{\bm{g}^1,\bm{g}^2,\bm{g}^3\right\}=\left\{\bm{e}_x,\bm{e}_y,\bm{e}_z\right\} なので，成分は同一です)，座標変換

\{x^1,x^2,x^3\}\rightarrow\{x'^{1},x'^{2},x'^{3}\}

に対して，ベクトル \bm{a},\bm{r},\nabla は変化しないが基底が変化する事から，各成分の変換則が導き出されます．(偏微分の鎖則の練習問題ですね．)