ラグラジアン
ラグラジアン
けん（大学2年） さんの書込 (2007/06/11(Mon) 14:20)
中心力での平面運動です．
L＝(m/2)((dr/dt)^2＋(r^2)(dθ/dt)^2)−V(r)
でラグラジアンは与えられます．
θはサイクリックなので， 共役な一般化運度量(Lをdθ/dtで偏微分)m(r^2)dθ/dt は保存量です．これを定数αと書くと，ラグラジアンは，
L＝(m/2)(dr/dt)^2＋(α^2)/(2mr^2)−V(r)
と変形できます． この式から，rに関するラグランジェ方程式を立てると，
0＝(d/dt)(Lをdr/dtで偏微分したもの)−(Lをrで偏微分) ＝m(d^2/dt^2)r＋(α^2)/mr^3＋dV/dr
となりますが，第二項の符号がマイナスにならず，誤った式が出てきてしまいます．
どこがいけないのかご指摘お願いします．
Re: ラグラジアン
ｙama さんのレス (2007/06/11(Mon) 15:52)
ラグランジアンは座標と運動量の関数として表されていないといけません． 保存量があってもラグランジアンの中の相当する部分をを定数で置き換えることはできません．そんな置き換えをしたものはもはやラグランジアンではないので，それから正しい運動方程式を導くことはできません．
これはハミルトニアンの場合についても言えます． エネルギーが保存するからといって，ハミルトニアンを初めから定数と置いたのでは運動方程式は得られません．
Re: ラグラジアン
yama さんのレス (2007/06/12(Tue) 22:37)
説明を追加しておきます． 運動は作用積分の変分が0になるという条件を満たします． その条件の下で一部の一般化運動量が保存されるわけです． つまり，作用積分の変分が0になるという条件の下で一般化運動量が定数になるわけであって，この条件を課する前から定数であったわけではありません． 従って変分を行う前に一般化運動量を定数で置き換えることはできません．
