コアラ さんの書込 (2004/07/23(Fri) 16:07)

511000vで加速したときの電子の速度を求めよ．またこの場合，電子の質量増加を無視すると，速度はいくらか． という問題なのですが，ev=1/2mv^2より，v=√2ev/m=で質量増加を無視した場合を求めたのですが，無視しないときの電子の速度がわかりません． どうか教えてー（＞＿＜）ノ 大学に入学してから物理を習いはじめました！ なので，まったくの初心者です．

ブルー さんのレス (2004/07/25(Sun) 12:52)

電気系の学科を出ましたが，途中で質量が増加するような問題はやったことありません．しかも，大学1年で，この問題．．．どういう学科なんですか？？僕が単に忘れているという可能性もありますが．．．

通りすがり さんのレス (2004/07/25(Sun) 15:08)

質量増加とは相対性理論による効果．速度が大きくなると質量が増加する．

● 質量増加を無視するとは，古典的（ニュートン力学的）に考えること． E = eV = mv^2 / 2 ∴ v = √(2eV/m)

＃ここで，m = 9.1x10^-31 kg，e = 1.6x10^-19 C を使ってまともに計算してもよいが， ＃「電子の質量はm = 511keV/c^2」ということを知っていればずっと計算は楽． ＃物理を学ぶ人は，ぜひこの値を覚えて欲しい．

電子が加速されたエネルギーは E = e x 511000v = 511keV 電子の質量はm = 511keV/c^2

v = √(2eV/m) = √(2x511keV/(511keV/c^2)) = c√2 = 1.4 c ・・・光速の１．４倍というありえない値となる．

● 質量増加を無視しない場合は特殊相対論を考慮する． E = eV = (γ-1)mc^2 ただしγ=(1-β^2)^(-1/2)…ローレンツ係数という

上の場合と同様に， 電子が加速されたエネルギーは E = e x 511000v = 511keV 電子の質量はm = 511keV/c^2

511keV = (γ-1)511keV ∴ γ = 2 ∴ v = c√(3/4) = 0.87c・・・光速の８７％

―――――――― 最近，ここの掲示板は駆け込み寺なんですね・・・「お助け」ばっかり． 崎間さんの，じっくり考えた意見を楽しみにしているのですが・・・・・．

通りすがり さんのレス (2004/07/25(Sun) 15:09)

補足：β = v/c です．忘れていました．

|-`)コソーリ改めソーリです． さんのレス (2004/07/26(Mon) 03:06)

通りすがりさん回答に，アッパレです(；´∀｀) 最近，質量増加を知りました・・・・．

通りすがりさんは崎間ファンなのですか(・∀・)？ |-`)オラの思いは負けませんよ．

・・・・． ・・・・・・・． ・・・・・・・・・冗談ですが． 失礼(-人-;)

ken さんのレス (2004/07/26(Mon) 09:41)

>質量増加を無視しない場合は特殊相対論を考慮する． >E = eV = (γ-1)mc^2

こんな式になるんですか？ 速度が光速に比べて無視できるほど小さい時の式 E=1/2・mv^2をなにか変形して （mをなにかに置き換えたりγをいれるなど） 出すのかなと思っていました．

逆に E = eV = (γ-1)mc^2をγ＞１から限りなく γを1に近づけると E=1/2・mv^2になるのでしょうか （ならなきゃ変だけど，上手く計算できなかった）

＞＃「電子の質量はm = 511keV/c^2」ということを知っていればずっと計算は楽． ＞＃物理を学ぶ人は，ぜひこの値を覚えて欲しい．

重さ＝エネルギー/速度の２乗 そんな表し方があるのを始めて知りました．

たしかに運動エネルギー=係数×重さ×速度の２乗 なので重さ=運動エネルギー/速度の２乗 位置エネルギー=重さ×加速度×長さ =重さ×（長さ/時間の２乗）×長さ =重さ×速度の２乗 なので次元としてはあっている．

崎間@管理人 さんのレス (2004/07/26(Mon) 15:39)

通りすがりさん，回答ありがとうございます． 質問者のコアラさん，見てますか？

> ＃「電子の質量はm = 511keV/c^2」

これは知りませんでした．覚えておきます． 同じ様なものとして， 1eV（電子ボルト） = 11600 K（ケルビン） という関係は重宝しています．

> 駆け込み寺なんですね・・・「お助け」ばっかり．

そのような傾向があるようです． 別スレで，僕の考えを書こうと思います．

> 通りすがりさんは崎間ファンなのですか(・∀・)？

いえ，恐れ多いです．僕が通りすがりさんのファンです．

> 逆に
> E = eV = (γ-1)mc^2をγ＞１から限りなく
> γを1に近づけると
> E=1/2・mv^2になるのでしょうか

静止質量をm，特殊相対論での質量をm'とすると E = m'c^2 = m/√(1-v^2/c^2)・c^2 ですから，ニュートン力学の範囲では v が c よりすごく小さいとして，(v/c)^2で展開すると E = m'c^2 = mc^2 + mv^2/2 となり，静止エネルギー + 運動エネルギーになります．

ken さんのレス (2004/07/26(Mon) 16:59)

>> 逆に >> E = eV = (γ-1)mc^2をγ＞１から限りなく >> γを1に近づけると >> E=1/2・mv^2になるのでしょうか >静止質量をm，特殊相対論での質量をm'とすると >E = m'c^2 = m/√(1-v^2/c^2)・c^2 >ですから，ニュートン力学の範囲では >v が c よりすごく小さいとして，(v/c)^2で展開すると >E = m'c^2 = mc^2 + mv^2/2 >となり，静止エネルギー + 運動エネルギーになります．

なるほどβ = v/cとしてE = m'c^2=m(1- β^2)^(-1/2)・c^2 を E = E [@β =0] + d E / d(β^2) [@β =0] ・β^2 (β^2)^2 (2次）以上の展開はβ^2が無視できるとするとして β=0の近くでテーラー展開すると E [@β =0] = m・c^2 d E / d(β^2) = m・c^2・(-1/2)・D^(-3/2)・d D / d(β^2) ここでD=(1- β^2)とおいた． d D / d(β^2)=-1 d E / d(β^2) = 1/2m・c^2・(1- β^2)^(-3/2) d E / d(β^2) [@β =0] = 1/2・m・c^2 d E / d(β^2) [@β =0] ・β^2 =m・v^2/2

E = mc^2 + mv^2/2となるわけですね． 崎間さんありがとうございます．

ところで，もう一つ質問なのですが 「電子の質量はm = 511keV/c^2」については 次元(dimension)があうことを確認しましたが

「1eV（電子ボルト） = 11600 K（ケルビン）」 という関係がわかりません． 実際に使っていらっしゃるということは 少なくとも次元があっているのでしょうが 温度であるKとエネルギーであるeVとはどのような 関係があるのでしょうか

CO さんのレス (2004/07/26(Mon) 17:12)

> 温度であるKとエネルギーであるeVとはどのような > 関係があるのでしょうか

E = k_B T という関係があります．なので，実際にはボルツマン因子 K_B がかかっています．天文学だとか，核分裂・核融合だとか，超高温の世界を扱う人たちはエネルギーを温度で言うことが多いですね．

崎間@管理人 さんのレス (2004/07/26(Mon) 17:34)

COさんまたまたフォローありがとうございます． 電子ボルトがだいたい何度か分かると， 物理量のだいたいのオーダーが分かって便利です．