回転系，一般化ポテンシャル，ラグラジアン
回転系，一般化ポテンシャル，ラグラジアン
けん（大学2年） さんの書込 (2007/05/16(Wed) 23:44)
質量mの質点が外力を受けずに平面内を運動している．この平面内のデカルト座標をx,yとする．この運動を，面に垂直な軸のまわりに一定の角速度ωで回転している座標系で観測する．その回転座標系でのデカルト座標X,Yは X＝ xcosωt＋ysinωt Y＝-xsinωt＋ycosωt で与えられる．
静止系から見た運動エネルギーT1は，
T1＝(1/2)m((dx/dt)^2＋(dy/dt)^2)
です．これを回転座標系に変形すると，
T1＝(1/2)m((dX/dt)^2＋(dY/dt)^2)＋(1/2)m(ω^2)(X^2＋Y^2)−m(ω^2)((dX/dt)Y−X(dY/dt))
となります．
(1/2)m((dX/dt)^2＋(dY/dt)^2)
は回転系から見た運動エネルギーT2になっています．残りの項は回転の効果による項で，回転系でのポテンシャルとして，
U2＝(1/2)m(ω^2)(X^2＋Y^2)−m(ω^2)((dX/dt)Y−X(dY/dt))
としました．
すると，回転系でのラグラジアンL2は，
L2＝T2−U2
となりました．ここからラグランジェ方程式を立てたのですが，これではニュートンの運動方程式とは符号が合いませんでした．
ところで，静止系でのラグラジアンL1は，静止系でのポテンシャルが0であることから，
L1＝T1
となります．これを回転座標系に変形すると，
L1＝T2＋U2
となりました．静止系でのラグラジアンを式変形で回転系での変数に置き換えたL1を使ってラグランジェ方程式を立てるとニュートンの運動方程式と一致しました．
ニュートンの運動方程式と一致したことから，後者が正解，前者は不正解となるようなのですが，なぜ前者が不正解なのか，分かりません．回転の効果による項をポテンシャルU2とすることが自然に思えてしまいます．
よろしくお願いします．
Re: 回転系，一般化ポテンシャル，ラグラジアン
ｙama さんのレス (2007/05/17(Thu) 18:12)
L2はT1をXとYで表したものなので L2=(1/2)m((dX/dt)^2＋(dY/dt)^2)＋(1/2)m(ω^2)(X^2＋Y^2)−mω((dX/dt)Y−X(dY/dt)) になります．（けんさんの式は第３項が違っているようです．）
T2=(1/2)m((dX/dt)^2＋(dY/dt)^2)，L2＝T2−U2 であると考えると U2=-(1/2)m(ω^2)(X^2＋Y^2)+mω((dX/dt)Y−X(dY/dt)) としないといけません． これから導かれるラグランジュ方程式はニュートンの運動方程式（を非慣性系に書き換えたもの）に一致します．
一方，エネルギーを計算すると E==(1/2)m((dX/dt)^2＋(dY/dt)^2)＋(1/2)m(ω^2)(X^2＋Y^2) になるので，E=T2+U2であると考えて U2=-(1/2)m(ω^2)(X^2＋Y^2) と考えたくなりますね．しかしこのU2を用いる場合はL2＝T2−U2 ではなく L2＝T2-U2-mω((dX/dt)Y−X(dY/dt)) としないと，正しい運動方程式は得られません． （右辺第３項がなければコリオリ力が出てきません．しかしコリオリ力は仕事をしないのでエネルギーには寄与しません．）
一般に速度と座標の両方を含む項がある場合は，LをTとUに分けて考えるのはあまり意味がありません． 運動方程式をつくるためにはLが決まればいいわけで，それをTとUに分ける必要はないからです．
もともと，この場合のLは運動エネルギーだけで成り立っているので，その一部を形式的にUと考えると，いろいろおかしな点が出てくるわけです．
Re: 回転系，一般化ポテンシャル，ラグラジアン
けん（大学2年） さんのレス (2007/05/19(Sat) 23:43)
解説ありがとうございます．
＞L2はT1をXとYで表したものなので
ただの座標変換（デカルト座標から極座標への変換など）でなく，別の系への変換の場合でも，ラグラジアンがそのまま使えるのはどうしてですか？
＞一方，エネルギーを計算すると E==(1/2)m((dX/dt)^2＋(dY/dt)^2)＋(1/2)m(ω^2)(X^2＋Y^2) になるので，E=T2+U2であると考えて U2=-(1/2)m(ω^2)(X^2＋Y^2) と考えたくなりますね．しかしこのU2を用いる場合はL2＝T2−U2 ではなく L2＝T2-U2-mω((dX/dt)Y−X(dY/dt)) としないと，正しい運動方程式は得られません． （右辺第３項がなければコリオリ力が出てきません．しかしコリオリ力は仕事をしないのでエネルギーには寄与しません．）
第三項を，コリオリ力によるポテンシャルとすることはできるのですか？
Re: 回転系，一般化ポテンシャル，ラグラジアン
yama さんのレス (2007/05/20(Sun) 12:23)
>ただの座標変換（デカルト座標から極座標への変換など）でなく，別の系への変換の場合でも，ラグラジアンがそのまま使えるのはどうしてですか？
これは，一般座標の変換に対するラグランジュ方程式の共変性によるものであって，座標変換のパラメータとして時間が含まれる場合にも成り立ちます．
>第三項を，コリオリ力によるポテンシャルとすることはできるのですか？
コリオリ力はポテンシャル力ではないので，コリオリ力のポテンシャルとは言えないでしょう．実際，第３項を座標で微分しただけではコリオリ力にはなりません．
