平方根の開閉の理屈
平方根の開閉の理屈
しずく さんの書込 (2007/03/24(Sat) 16:26)
久しぶりに書き込ませて頂きます．平方根の開閉について教えていただきたいことがあります．
というサイトで，平方根の開閉をするための手続きは理解したのですが， この手続きで何故正しく平方根の開閉ができるか，という理屈がわかりません．
何故こうするとできるのか．という理屈を教えてください． よろしくお願いします．
Re: 平方根の開閉の理屈
yama さんのレス (2007/03/24(Sat) 17:45)
「開閉」じゃなくて「開平」だと思いますが・・・ 次の説明が参考になるのではないでしょうか．
Re: 平方根の開閉の理屈
山旅人 さんのレス (2007/03/24(Sat) 22:30)
横から失礼します． yama さんが紹介された yosshy さんのサイトに書かれているとおりなのですが，<b>なぜ２桁ずつ区切るのか，なぜ左側で変な足し算をするのか</b>，次のようにしてみると見えてくるでしょう．
(a.bcd…) 2 ＝(a＋b/10＋c/100＋d/1000＋…) 2 ＝a 2 ＋(2a＋b/10)・b/10＋(2a＋2b/10＋c/100)・c/100＋(2a＋2b/10＋2c/100＋d/1000)・d/1000＋… ＝a 2 ＋(2・10a＋b)・b/100＋(2・100a＋2・10b＋c)・c/10000＋(2・1000a＋2・100b＋2・10c＋d)・d/1000000＋…
「割り算部分」 の左側で <b>桁を右にずらした (＝10で割った) 商を２度加えていく</b> 方法をなぜ行うかが見えましたか？
Re: 平方根の開閉の理屈
ｋｏｍａｇａｔａｋｅ さんのレス (2007/04/01(Sun) 14:00)
山旅人様の内容ですんでいるのでしょうが対応を見るのにはちょっとしんどいという気がします．ｙａｍａ様の示されているＵＲＬでは同じような多項式表現と並べて作業手順が示されていいます．でもどちらの表現も私には二乗の多項式がハードルです．私が訊かれたときには逐次近似の作業手順で答えています．内容は同じなんですが書かせて頂きます．
ｙａｍａ様の方のＵＲＬに√３が例に出ていますから√３を求めるとします．対応して頂くと分かりやすいでしょう．
１桁ずつ求めていきます． √３＝ａ．ｂｃｄ・・・とするのは同じです．このａ，ｂ，ｃ，ｄ，・・・を順番に求めていく手順です．この手順が開平の割り算風の手順にピッタリと対応しています．
ａ＝１ですから√３＝１＋０．１ｘです． 両辺を２乗します． ３＝１＋０．１・（１＋１）・ｘ＋０．０１ｘ＾２ ３−１＝２＝０．２ｘ＋０．０１ｘ＾２ です．両辺を１００倍します．
２００＝２０ｘ＋ｘ＾２ ＝（２０＋ｘ）ｘ（式１） ｘ＝ｂ＋０．１ｙです．ｂは式１の右辺に入れて２００を越えない最大の整数です．ｂ＝７です．ｘ＝７＋０．１ｙを代入します． ２００＝（２０＋７＋０．１ｙ）（７＋０．１ｙ） ＝（２０＋７）・７＋（２０＋７＋７）・０．１ｙ＋０．０１ｙ＾２ ２７・７＝１８９を２００から引いて１００倍します．
１１００＝３４０ｙ＋ｙ＾２ ＝（３４０＋ｙ）ｙ（式２） ｙ＝ｃ＋０．１ｚです．ｃは（式２）の右辺に入れて１１００を越えない最大の整数です．ｃ＝３です．ｙ＝３＋０．１ｚを代入します． １１００＝（３４０＋３＋０．１ｚ）（３＋０．１ｚ） ＝（３４０＋３）・３＋（３１０＋３＋３）・０．１ｚ＋０．０１ｚ＾２ ３４３・３＝１０２９を左辺から引いて１００倍します．
７１００＝３４６０ｚ＋ｚ＾２ ＝（３４６０＋ｚ）ｚ（式３） ｚ＝ｄ＋０．１ｕです．ｄは（式３）の右辺に代入して７１００を越えない最大の整数です．ｄ＝２です．ｚ＝２＋０．１ｕです．
以下同様です．きちんと対応が付いています．
逐次近似ですから手順をプログラムにすることは難しくないと思います． １桁ずつ整数を求めていますので求めた範囲の数値には信頼性があります．１０回やれば１０桁求められます． ニュートン法も逐次近似です．一度にたくさんの桁が求まります．収束は速いようですが収束の確認が必要です．
