レインマン さんの書込 (2007/02/27(Tue) 19:09)

某大学の過去問です

本体（燃料ガスを含まない）の質量mのロケットが，地球引力中を垂直に運動する場合について，以下の問いに答えよ．なお，ロケットは大きさの無い質点として扱い，地球引力 以外の力は無視する． 問 ロケットを地表Ａから摩擦の無い滑り台を用いて滑らせて上方を向け，地表からｄだけ低い地点Ｂで鉛直上向きの速度を持たせる．その瞬間に燃料ガスを全て噴出して，ロケットの上向きの運動量をｐだけ増加させる重力加速度が地表からの高さによらず一定値ｇであると仮定して以下の問いに答えよ． （１）燃料ガス噴出直後のロケットの速度を求めよ． （２）ロケットの最高到達点の地表からの高さを求め，ロケットが地表から鉛直上方に ガスを噴射し運動量ｐを得たときのロケットの最高到達点の地表からの高さｈとｄだけをもちいてこたえよ．

（１）燃料の質量をＭとおき噴出直前の速度をｖとおくと エネルギ保存則より

１/２（ｍ+Ｍ）v^2＝（Ｍ+ｍ）gd

よって

ｖ＝√2ｇｄ

また運動量保存則より求める速度をＶとおくと （ｍ+Ｍ）ｖ+ｐ＝ｍＶ より

Ｖ＝｛（Ｍ+ｍ）√2ｇｄ+ｐ｝/ｍ

となると思うのですがＭがきえません こたえをみてみても

１/２ｍv^2＝ｍgd

よって

ｖ＝√2ｇｄ

また運動量保存則より求める速度をＶとおくと ｍｖ+ｐ＝ｍＶ より

Ｖ＝√2ｇｄ+ｐ/ｍ

とあってロケットの燃料を考慮していないように思えます だいいち燃料に質量が無かったら噴出しても運動量は得られませんよね？ という訳で訳がわからなくなってしまったのでどなたか回答をお願いします．

yama さんのレス (2007/02/27(Tue) 23:34)

燃料ガスの噴出によってロケット本体の運動量がpだけ増加したということです． 燃料ガスの質量が関係していないように思われるかもしれませんが，p自体が燃料ガスの質量（と速度）に関係しています．

具体的には次のように考えることができます． 燃料を含めた全体の運動量は，燃料ガス噴出直前には (m+M)v です． 噴出した燃料ガスの速度をV'とすると，噴出ガスの運動量は MV'，噴出後の本体の運動量は mV なので，運動量の保存は次の式で表されます． (m+M)v=mV+MV' 変形すると mV-mv=Mv-MV' となるので，Mv-MV' が本体の運動量変化に等しいことがわかります．（これは燃料ガスの運動量変化の符号を変えたものです．） p=Mv-MV'と置くと mv+p=mV となります．

つまりこの問題では，M や V'のかわりに運動量変化 p 自体が問題の条件として与えられているというわけです．

レインマン さんのレス (2007/02/28(Wed) 00:32)

yamaさん回答ありがとうございます

ｐが何なのか良く分からないで問題をといていたようです． 要するにｐはロケット本体の運動量変化だから ロケット本体への燃料からの力積ですよね． 運動量の問題は気を抜くとへんなまちがいをするにでこわいです． たぶん理解できたと思いますありがとうございました