えり さんの書込 (2007/02/24(Sat) 00:00)

以前違う内容をこれと同じ問題で質問させていただいたのですが，新たに違う点でわからないところがあったので再度質問させていただきたいと思います．

「自然長がLでばね定数がkのばねの両端に，大きさの無視できる質量mの粒子を一つずつ取り付ける．二つの粒子は，両者を結ぶ直線上のみを運動する．速度を表すときは右向きを正とする．ばねの長さをL-aまで縮めて，二つの粒子を静かに離すと，二つの粒子は単振動を始める．ばねの長さが自然長と等しく，ばねが伸びつつあるときの左側の粒子の速度を-v0,右側の粒子の速度をv0とする． 次に二つの粒子が上のように単振動しながら，両者の重心が速度?>0で動くような運動を考える．ばねの長さが自然長に等しく，ばねが伸びつつあるとき，左の粒子の速度は?-v0,右側の粒子の速度は?+v0である．ばねと粒子の右側に平らな板をばねに垂直に置いて粒子を反射させる．ばねの長さが自然長に等しく，ばねが伸びつつあるときに，右側の粒子が板にあたって完全弾性衝突をした（板は衝突の際動かない．また，衝突後すぐに板は取り除く）． 衝突の後，重心の速度は変化しない．重心と等しい速度で動きながら，衝突後の運動を観察しよう．すると，重心が静止したまま二つの粒子が単振動するように見える．衝突後にばねがもっとも伸びるときの長さをa,?,v0,Lを使って表せ」

という問題なのですがこれは力学的エネルギー保存則を使うのですよね？ そうすると， 全運動エネルギー＝重心の運動エネルギー＋重心系の運動エネルギー を使って計算するのですか？そうすると 1/2*mv_l^2+1/2*mv_r^2=1/2*(m+m)?'^2+1/2*kx^2 のような式になるのでしょうか・・・（見づらくですみません・・・） ちなみに v_l,v_rはばねの長さが自然長と等しく，ばねが縮みつつあるときの左右の粒子の速度で，?'は衝突後の重心速度，xはもっとも伸びるときのばねの伸びを表しています．でもこうするとaが消えちゃいますよね・・・自信なしです． この手の問題は苦手です．．重心が絡んでくるエネルギー保存則がなかなか上手く書けません．どなたか教えていただけないでしょうか．長文で申し訳ありませんが，宜しくお願いします．

zoro さんのレス (2007/02/24(Sat) 00:24)

ぱっと見た所では，衝突の前後については前の問題と同じように見えますね．

もしそうならば，衝突後の初期条件を使って相対座標の運動に置き換えれば，バネで動く1体運動に見えませんか？換算質量は習ったのですね．

今，題意で，衝突後の重心を慣性座標原点としていますから，相対座標の一方を座標原点にすると考えられます．そうすれば，換算質量μ＝m／２の１体の粒子運動を考えればいいですね．そのとき，バネの力，すなわち相互作用はそのままでよい事に注意すれば，一体の座標は，質量μ，バネ常数k，初期の長さL，初期速度-2V，といった感じですよね．

yama さんのレス (2007/02/24(Sat) 11:08)

ばねがもっとも伸びたときには，重心系での各粒子の速度は0，粒子の相対速度も0になります． 従って重心系で運動を考えても，換算質量を持つ１粒子の運動を考えても，その運動エネルギーは0です．従って重心の運動エネルギーだけを考えればいいので，えりさんが書かれた式でいいと思います．

a が消えているのは見かけ上のことで，v_l や v_r が a に関係するはずです．

zoro さんのレス (2007/02/24(Sat) 11:24)

すこし，この問題を考えていて，疑問が出てきました．2質点系で，外力が掛からない場合では，重心速度が保存して，相対運動があたかも1質点系のように振舞うことをご存知ならば，この問題はそれほど難しくないように思えました．というのは，以前のどこかで，「換算質量を教えてもらった」という発言をされていたと思うからです．

では，「何が難しいか」と思ったとき，一般の慣性系からみた運動を重心運動と相対運動に別けるところまではいいとして；

相対運動にした時の，「質点間の相互作用をどうするか」というところが納得行かない

のではなかろうかと思うようになりました．

もしそうなら，その間の事情をすこし詳しく説明します．

そうでないなら，ご専門のyamaさんのご解説で勉強されるのが賢いと思います．

ss さんのレス (2007/02/24(Sat) 14:27)

私も受験生で，この掲示板を読ませて頂いて 理解できるとことは，勉強させてもらっています． 高校生の場合，大部分の生徒はyamaさんがおっしゃられたように考えるのが 一般的で，受験ではそう解くしかないのではないでしょうか？ zoroさんが書かれたことは，私たち高校生には分かりにくいというか， 受験を間近に控えた私たちにとって，すごく混乱してしまうように思えてしまいます．乱文お許しください．

zoro さんのレス (2007/02/24(Sat) 14:56)

ssさん，

>zoroさんが書かれたことは，私たち高校生には分かりにくいというか， 受験を間近に控えた私たちにとって，すごく混乱してしまうように思えてしまいます．

そのような事があれば，不本意なので解説はしません．

ただ，物理の問題を解くのに，どの方法が良くて，どの方法はだめだという制限はなかろうとおもいます．

ただし，お説の可能性もあるとおもい，既に；

>ご専門のyamaさんのご解説で勉強されるのが賢いと思います．

と書いております．従って，このスレッドを作られたえりさんがどのようなご見解かによって，この後の論議は決まると思っております．

確かに，受験のうちでも，シビアな時点だろうと思いますので，有効に時間を使われるように希望します．

えり さんのレス (2007/02/24(Sat) 15:50)

話を戻しますが（すみません），私の疑問はほぼ解決しました． 私はzoroさんからのご解説もyamaさんからのご解説も吸収できるところは情報を取捨選択（という言葉が適切かどうかはわかりませんが）して勉強させていただいております．どのお方のご意見も私の「なぜ？」を刺激して下さるものばかりで，その後の勉強も内容の濃いものになっているなあと実感しています．

そして今回も，私の重心運動に対する理解がかなり深まったと思います．ありがとうございました．

＞換算質量は習ったのですね．

はい，習いました（＾＾）相対運動を考えるときに使うものですよね．これも克服しました．

＞では，「何が難しいか」と思ったとき，一般の慣性系からみた運動を重心運動と相対運動に別けるところまではいいとして； 相対運動にした時の，「質点間の相互作用をどうするか」というところが納得行かないのではなかろうかと思うようになりました．

確かにそういわれてみればそうですね…大学入試に直結するようなのであれば，ぜひ教えて頂きたいです．（理科はあさってに試験ですが…）

zoro さんのレス (2007/02/24(Sat) 16:46)

>大学入試に直結するようなのであれば，ぜひ教えて頂きたいです．（理科はあさってに試験ですが…）

少々，時間が詰まり過ぎですね．むしろ，私がこれから原稿を書くよりも，講義ノートでの「重心運動の運動方程式には相互作用が現れず」「相対運動の運動方程式にのみ相互作用が現れて，さらにその形は...」の誘導の箇所をじっくり読んでください．今の実力ならば，自己努力でも克服できるようにも感じます．

＃大昔は，ひな祭りの前後だったような気がします．

私見では，yamaさんの方式で理解できているならば，あえてこの時点で不得意な処方を手にするより，その時間リラックスしていた方が，実力がでると思います．

どうしても，納得したければ，入試後にLaTeXの練習を兼ねて，論議されると良いと思います(笑)．肩の筋肉をリラックスしてね．

ｋｏｍａｇａｔａｋｅ さんのレス (2007/05/26(Sat) 14:23)

えりさん

上の方に来ていたので読んで見ました．

もう決着が付いているのでしょうか．

書き込みを見ると重心運動と相対運動のはなしだけで終わっています． 「衝突後の振動の最大振幅」というのは求まったのでしょうか． エネルギーの事は書いてありますが運動量については書いてありません．衝突後の重心速度は求められたのでしょうか．

多分元々は大学入試のレベルの問題だったと思います．違っていると言われるかも知れませんが終わりまで書かせて頂きます． （１）前置き バネ定数ｋのバネを自然長からａだけ伸ばして振動させます．自然長の位置を通過するときの速さをｖとします．

弾性エネルギーと運動エネルギーの入れ替わりを考えると （１／２）ｋａ＾２＝（１／２）ｍｖ＾２ ですからａ＝ｖ√（ｍ／ｋ）です．ａはｖに比例します．

これはおもりが２つになって換算質量，相対速度になっても同じだと思います．

（２）今回の場合，壁への衝突 重心速度をＶとします．バネの長さが自然長で伸びつつあるときの速さがｖ０です．この時に壁にぶつかります．衝突は完全弾性衝突です．

ＡＢ 衝突の直前Ｖーｖ０Ｖ＋ｖ０（Ｂは右向き） 衝突の直後Ｖ−ｖ０ーＶ−ｖ０（Ｂは左向き）

衝突の前の重心速度がＶです．衝突後の重心速度はーｖ０になっています． バネは自然長のところで縮もうとしています．その時の速さがＶです．

重心速度と相対速度が入れ替わっています．（これが面白いと思いました．）

振幅は（１）の結果から ａ’＝ａ（Ｖ／ｖ０） となります．

えりさんも皆さんも承知の結果だというのであれば私一人の確認になります．