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皐さんの書込 (2004/07/17(Sat) 14:13)

従属関数u(x,t)に関する線形２階偏微分方程式：∂^2u/∂t^2=c^2∂^2u/∂x＾2 (c>0)について

（１）偏微分方程式の一般解を求めよ．（２）１次元の場合について（１）で得られる解は「波」の性質を持つことを示せ．

（１）については，一般解はu(x,t)=A'e^i(αx/c±αt)＋B'e^-i(αx/c±αt) になり，オイラーの公式より u(x,t)=Acos(αx/c±αｔ）+Bsin(αx/c±αt）になりました．ここで（２）がちょっとわからないのです．よろしくお願いします．ｍ（＿＿）ｍ

Re: 波

ブルーさんのレス (2004/07/17(Sat) 17:53)

はじめまして？？ブルーです (2)ですか〜，難しいですね〜これって，どんな分野からの問題なんですか〜？？

以下の解説は，あってるかどうかは全く謎です．すみません．他の人の反応＆解説を参考にして解いてみてください．

＞１次元の場合変数は，xとtです．1次元ということは，変数が一つのときということじゃないですかね〜？？もし，デカルト座標(x,y,z座標)において，1次元なら，すでに1次元だから，こういう記述は必要ないかな〜なんて思います．xもしくはtを定数と見て解けばいいと思います．

＞「波」の性質を持つことを示せこれ，どういうことだろ．sinとcosで表せるということかな〜．たぶん．．．余談ですが，sinとcosでも表せない波も存在します．僕が研究でやってる衝撃波とか．．．

誰か〜解説お願いします(*_ _)人

Re: 波

CO さんのレス (2004/07/17(Sat) 19:05)

出てきた解は，一般解にはなっていませんよね？

http://www12.plala.or.jp/ksp/math/partial/index.html

解き方はここに載っているとおりのことをやって，(12)式が出てくるんだと思います．(12)では見かけ上は，次に言う形になっていませんが，exp の形で併せれば望みの答えが出てくると思います．

見方を変えて，u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)という形の解も，波動方程式(与えられている方程式の名称です)の一般解になっています．代入して確認してみてください．この形の解をもてば波の性質を持つと言うことになります．この解は，ある波は右向き進行波と左向き進行波の重ねあわせで表現できるということを表していて，D'Alembert の解と呼ばれています．ようするに，sin, cos で書かれてなくても f(x-ct) だとか g(x+ct) のように「波形」が時間とともに変移(平行移動)していけば波であるということが言えます． D'Alembert 解も (12) の解も計算してみると等しいことがわかります，たぶん．皐さんの解も f(x±ct)といった格好になってますよね．

適当なこと言ってる可能性もあるんで議論の必要有りです．(^^;

※蛇足ですが，引用したページの一番最後の式，u(x,t) が t の関数にはなってないですね．誤植でしょうか？ cos(wt)が抜けてるのかな > 管理人さん