素数

ハーツさんの書込 (2007/02/02(Fri) 19:45)

はじめまして．学年は高２です．

数学の問題なのですが（しかも高校数学），他の掲示板等ではちゃんとした解答が得られなかったので，答えていただけないでしょうか？以下の問題です．

p,2p + 1,4p - 1,6p - 1,8p + 1 がいずれも素数であるような p をすべて求めよ．

予想ではp=2,5ぐらいしかないと思うのですが，どうでしょうか？よろしくお願いします．

ハーツさん，初めまして．

純粋に数学の問題ですけど，私は，泥臭い方法でアプローチしたいと思います．

とりあえず，エクセル表計算で，p=2...34 を書き出してみました．暗算が不得意なので，数値が100を超えると，もう駄目ですね．とりあえず，簡単なルール

・偶数は駄目，・1桁めが０，５は駄目・1桁めが３で，かつ全桁の総和が3の倍数ではだめ．

なんてやってみたものの，p=15で出てくる，121で挫折しました．

やはり，ごり押しでも，判定するには素数計算の簡易サブルーチンが欲しいな，という単純な結論にいたりました(笑)．

＝＝＝＝書いたのを見て11^2を思い出しました．;P)

５で割った余りを考えてみます．

（場合１）ｐ＝５の場合：題意を満たす．

（場合２） pを５以外の素数と仮定すると，５で割ったときの余りは，1,2,3,4のいずれかになるはずです．

ところが，余りが１の場合6p-1の，余り２の場合2p+1の，余り３の場合8p+1の，余り４の場合は4p-1の余りがそれぞれ０になってしまいます．これが，１０以上の５の倍数になるようでは素数であるという仮定に反するので，考えられるのは次の場合だけになります．

pが素数となるようなのは，（ii）のp=２だけですから，（場合１）とあわせて，答えは２と５です．■

蛇足ですが，素数は無限にあるので，りんごさんのようなやり方では，どんなに素晴らしいサブルーチンがあろうと，全く証明にはなりません．

りんごさん，Jhoさん，お返事ありがとうございます．

整数・素数問題は論理が厄介なのが多いですが，これからもがんばりたいと思います．

結局，簡単な素数判定サブルーチンを作って見ました(笑)．p=113まで計算したものの，その範囲では同時に素数になる組は在りませんでした．p=53でちょっとあわてましたよ，右端が画面から出ていたのですが．

素数について大学の入試問題点に出題されると知って，驚いています．楽しみながらベストを尽くされますように．