めぐ さんの書込 (2007/01/28(Sun) 16:52)

円形を折ってできる包絡線が楕円となることの証明，わかりますか？

zoro さんのレス (2007/01/28(Sun) 17:02)

問題がよく判らないのですが，平面に書いた円を斜めから見ると楕円に見えますよね．

要は，円を斜めに射影すると楕円と言った感じですかね．正当な回答をお願いします．

めぐ さんのレス (2007/01/28(Sun) 17:14)

すみません，「よい質問のしかた」を読んでいませんでした．

児童教育学科の２年生です． 学校のテストで上記の問題が出るということで， 質問いたしました．

分かるところまでと書いてあるのですが， 私はものすごく物理が苦手で，まったく分かりません． もちろん，授業にはすべて出席していたのですが，授業では， エネルギーや仕事のことを中心としてやっていました． それと関係ない気がして仕方ないのですが，関係ないですよね？？

去年もこの単位を落としてしまい，しかし免許をとるために必須なのです． なさけないことではありますが，ご協力お願い申し上げます．

nibbana さんのレス (2007/01/28(Sun) 17:45)

具体的にどんな問題なのかが伝わっていないのでしょう．．．

自分でどうやってそんなことを考えたのか忘れましたが，

1. 折り紙にコンパスで円を書き，円形に切りとる．
2. 円周上に等間隔に点をとる．それらの点をa1，a2，a3，a4，....とする．
3. 円の内部の適当なところに1点 P をとる．
4. 点a1，a2，a3，a4，....を順に P と重なるように折り目をつけていく．

こうすると1つの楕円の接線がつぎつぎとれる． この接線たちが楕円の包絡線のわけですね．

と，いう話でしょうか？

nibbana さんのレス (2007/01/28(Sun) 17:56)

補足: 上記で，円内にとった点Pは，楕円の焦点になったと記憶しています．

上の様なことで良いなら，その線にそって皆様考えてあげてください． また別の話なら，めぐさんより正しい問題内容をお書きになってください．

めぐ さんのレス (2007/01/28(Sun) 18:01)

はい，そのようなことだと思います．． ごめんなさい，わけ分からなくて・・・ 本当なさけないです．

zoro さんのレス (2007/01/28(Sun) 18:20)

「包絡線」に目が行きませんでした．御免なさい．でも幾何学的に証明できそうなかんじですね．直ぐには出来ないので...．

nibbana さんのレス (2007/01/28(Sun) 18:39)

おそらく，次の2点をめぐさんに書いてもらった方が良いでしょう．

1. 証明は解析幾何学でやるのでしょうか？ 言い変えるなら， 楕円の方程式や，その接線の方程式を授業で使っていましたか？

2. 期限はいつまででしょう？テストはいつ？

zoro さんのレス (2007/01/28(Sun) 19:12)

イメージだけですが

xy平面の原点に円の中心があり，x軸の正の部分に内部点Pが在るとします． 円の半径はRで

<pre> ↑+y | |

・ +R Q3(0,+R)

(0-Δx,0)H4 | H1(+R-Δx,0) --・----------------・---+--------------・---+---・------> x -R | 0 x | +R Q4(-R,0) O(0,0) P(x,0) Q1(+R,0) Δx=(+R-x)/2 </pre>

取り合えず，円周の代表的な点，Q1,Q2,Q3,Q4を考えます．

またPとQnの間でできる折り曲げ線Snとし，PとQnの中点Hnとすれば； ・PHn=QHn ，Snは中点Hnを通る． ・PQn 垂直 Sn

＃端的に言えば，SnはPQnの垂直二等分線ですね．

・H1はPとQ1の中点で，x軸に垂直， ⇒だからS1は楕円の右端の接線．

・Q2はPからy軸方向に線分を立て，円周と交わった点．その中点H2をとおるS2はx軸に並行． ⇒だからS2は楕円の短軸の接線

[・Q3とPで作る中点H3をとおるS3は，Pの対称点P'(-x,0)を通るらしい． ⇒だから？？？] 解釈に不要らしい？

・H4はPとQ4の中点で，x軸に垂直， ⇒だからS4は楕円の左端の接線．

図形の概略はこんなところらしいです．初めの予測は間違いでした．

zoro さんのレス (2007/01/28(Sun) 20:01)

>・Q2はPからy軸方向に線分を立て，円周と交わった点．その中点H2をとおるS2はx軸に並行． >⇒だからS2は楕円の短軸の接線

食事前に書いたのですが，ちょっと変な気もします...，保留させてくださいね．

めぐ さんのレス (2007/01/28(Sun) 20:08)

す，すみません・・ 丁寧なご説明していただいて，ものすごくうれしいのですが， 今，何度か読み返しましたが，私にはなかなかイメージがつかないです． 申し訳ありません．しかし，ご説明いただいたことを理解するべく， 今から奮闘します！！！！！！

あと，テストは明後日です☆． 方程式は授業ではやりませんでした．

あと，， ●円錐の切り口が楕円となることを示す実験計画と結果を書け ●ドミノの運動について説明せよ

も出るんです．円錐のほうは諦めてしまったのですが， 今のところ，ドミノのほうは位置エネルギーが運動エネルギーにかわると言う解釈をしています．

おそらく，テストでは，どれかひとつまともな解答を書ければ単位はくれるかと考えています・・．ですので，もし，包絡線のほうよりも解きやすければ，そちらを教えていただけますか？？！ ドミノのやつは，一応自分が理解したなりに解答を作りましたので，皆さん補足等ありましたらお願いできますでしょうか． 本当，申し訳ありません・・

nibbana さんのレス (2007/01/28(Sun) 20:27)

私なりの証明をひとつ．

1点 A を中心として半径 2a の円を考える(a は半径の半分の長さになる)． 円の内部に，中心 A と異なる点 B をとる．

円上に1点 C をとり(点 C は直線 AB に乗っていないとする)， 線分 CB の垂直二等分線を K とする(B，Cが重なるように折ったときの折り目です)． その垂線の足を M とする． また，Kと線分 CA (円の半径です)との交点を P とする．

△CPM と△BPM において， ・ ∠CMP = ∠BMP (いずれも直角) ・ CM = BM (直線 K は 線分 CB の垂直二等分線だから) ・ PM 共通 二辺とその間の角が等しいので， △CPM ≡ △BPM

よって ∠CPM = ∠BPM (1)

また， PC = PB 一方で， 2a = AC = AP + PC よって， 2a = AP + PB (2)

(2)より， 「点 P は2点 A，B を焦点とし，長軸半径を a とする楕円上にある．」

ところで，点 A，B を焦点とする楕円上の点 P での接線は， ∠APB の外角を二等分する(楕円の接線の性質)． よって(1)より， 「線分 CB の垂直二等分線 K は， 2点 A，B を焦点とする，長軸半径 a の楕円の， 点 P における接線である．」

以上により，点 C，B が重なるように紙を折ったときの折り目は， 二点 A，B を焦点とする長軸半径 a の楕円の包絡線になることが 示された．

zoro さんのレス (2007/01/28(Sun) 20:34)

一応，No.13945の図は修正しました．

定量的な解説は 直前のnibbanaさんによって書かれたようですので，私はこれにて終了します．

nibbana さんのレス (2007/01/28(Sun) 20:52)

zoroさんへ． 話の腰を折ってしまったようで，，，すいません． 前に考えたことがあると言った手前，私なりの証明をちゃんと書かないと， と思ったので，，，．

めぐさんへ． 図を書かないと良くわからないと思います． 図は自分で書いてください．．．．

zoro さんのレス (2007/01/28(Sun) 20:58)

>話の腰を折ってしまったようで，，，すいません．

そんな事は無いですから安心してください．私は，直感的に判ってしまうと，証明する気力がなくなるので，ありがたかった位です(笑)．

まさ さんのレス (2007/01/28(Sun) 22:12)

円錐の切り口が楕円となることを示す実験計画と結果を書け

なのですが，切り方によっては放物線や双曲線も出てくる，と思うのですが，そのような記述はありませんでしたか？

syu さんのレス (2007/01/28(Sun) 22:29)

●円錐の切り口が楕円となることを示す実験計画と結果を書け この問題ですが，数学的に一番簡単な示し方がこれだと思います． 円錐の中に大きな球と小さな球を入れてその両方の球に接する平面が 楕円になるということを，楕円の定義から示しています． 参考にしてください（このことを思考実験として答案に書いてもよいのでは？）

• http://toretate.fc2web.com/bgmath/2001/home222.html

りんご さんのレス (2007/01/28(Sun) 22:33)

まささん，横から失礼します．

質問されている，めぐさんは「児童教育学科の２年生」とあります．私の推定では，円筒の断面積ではないかと思うのですが...．でも円錐では回答が難しそうなので，かけませんでした．

nibbana さんのレス (2007/01/29(Mon) 02:29)

No.13951 の証明の図を，以下にアップしてみました．

• http://bbs.bookstudio.com/ap2/sample/bbs.php

の No 4472 です．

なお，証明中の，

"ところで，点 A，B を焦点とする楕円上の点 P での接線は， ∠APB の外角を二等分する(楕円の接線の性質)．"

は，この際証明ぬきでつかってよいでしょう． その証明まですると，大変でしょうから．