２体問題について

ゆうさんの書込 (2007/01/08(Mon) 02:11)

こんばんは，大学一年生のゆうといいます．長文なのですが，2体問題について教えてください．問１〜６まで解いてみました．この答えで合っているのか自信がなくて・・・チェックをお願いできないでしょうか？また，この問題は物体１，２では同じ質量になっています．これが違う場合などでも問３は同様に解けるのでしょうか？よろしくお願いいたします．

【問題】自然長，バネ定数の軽いバネの両端に質量の二つの小さな物体１と２をつなぎ，バネを自然長よりだけ伸ばして水平な台の上に置いた．時刻 t=0 で静かに手を話すと二つの物体は振動を始めた．手から離した後の運動について考える．軸をバネの伸び方向にとり，時刻 t=0 で物体１と２の位置は x_1(0)=0,x_2(0)=l+a とする．

--------------------> ｜−−○〜〜〜〜〜○ ------ x_1 ------ -- x_2

問１．２つの物体の位置が x_1,x_2 のとき，物体１に働く力 $F_{21}$ と物体２に働く力 $F_{12}$ を答えよ．解

$F_{21} &= k(x_2 - x_1 - l)\\F_{12} &= -k(x_2 - x_1 - l)$

それぞれを式(1)，(2)とする．

問２．物体１と２の運動方程式を求めよ．解式(1)，(2)より

$m\frac{d^2x_1}{dt^2} &= k(x_2 - x_1 - l)\\m\frac{d^2x_2}{dt^2} &= -k(x_2 - x_1 - l)$

それぞれを式(3)，(4)とする．

問３．質量中心 X(t) の運動方程式を求めよ．解は質量中心なので，合計の質量を M=m+m とする．

$X &= \frac{mx_1+mx_2}{2m}\\&= \frac{1}{2}(x_1+x_2)$

これを式(5)とする．

式(5)で運動方程式の左辺を立ててみると

$\frac{1}{2} \times M\frac{d^2(x_1+x_2)}{dt^2}$

となり，質量中心 X(t) の運動方程式は x_1,x_2 を足して $\frac{1}{2}$ すればよい．つまり

$M\frac{d^2X}{dt^2} &= \frac{1}{2}(k(x_2 - x_1 - l) -k(x_2 - x_1 - l))\\&= 0$

となる．これを式(6)とする．

問４．質量中心の位置を時間の関数として求めよ．解式(6)を2回積分する．

$M\frac{d^2X}{dt^2} &= 0\\M\frac{dX}{dt} &= v_0\\X(t) &= v_0t + x_0$

となり，題意より t=0 の場合 v_0 は0， x_0 は $\frac{1}{2}(l+a)$ となる．よって

$X(t) &= \frac{1}{2}(l+a)$

となる．これを式(7)とする．

問５．相対座標（物体１から２）の運動方程式を求めよ．解相対座標は x_2-x_1 したものなので式(4)-式(3)をしたものである．

$m\frac{d^2x_2}{dt^2} - m\frac{d^2x_1}{dt^2} &= -k(x_2 - x_1 - l) -k(x_2 - x_1 - l)\\m\frac{d^2x_2 - x_1}{dt^2} &= -2k(x_2 - x_1 - l)$

ここで Y=x_2 - x_1 とすると．

$m\frac{d^2Y}{dt^2} &= -2k(Y - l)$

となる．これを式(8)とする．

問６．相対座標を時間の関数として求めよ．解式(8)へ Z = Y - l ， $\omega = -\sqrt{\frac{2k}{m}}$ とし代入した．

$\frac{d^2Z}{dt^2} &= -\omega^2Z\\Z(t) = Acos(\omega t) + Bsin(\omega t)$

となる．これを式(9)とする． Y = Z + l を式(9)へ代入

$\frac{d^2Z}{dt^2} &= -\omega^2Z\\Y(t) = Acos(\omega t) + Bsin(\omega t) + l$

AとBを求める， t=0 の場合， $cos(\omega t) = 1,sin(\omega t) = 1$ ， Y(0) = x_2(0) - x_1(0) = l + a なので

$Y(0) &= A + 0 + l\\A &= Y(0) - l\\&= l + a - l\\&= a$

となる． Bは Y(t) を一度微分し初速度から求める．

$v_Y(t) &= -A\omega sin(\omega t) + B\omega cos(\omega t)\\v_Y(0) &= -A\omega sin(\omega 0) + B\omega cos(\omega 0)\\v_Y(0) &= B\omega\\B &= 0$

となり， A=a,B=0 となる．

$Y(t) &= a \, cos(\omega t)\\Y(t) &= a \, cos(-\sqrt{\frac{2k}{m}} t)$

Re: ２体問題について

yama さんのレス (2007/01/08(Mon) 10:34)

Y=Z+l なので +l が必要です．また cos の引数についている - は除くことができます．というよりも初めから $\omega=\sqrt{\frac{2k}{m}}$ としたほうがよかったでしょう．結局 $Y(t)=a\cos\left(\sqrt{\frac{2k}{m}}t\right)+l$ となりますね． t=0 のとき sin(ωt)=1 となっているのは単純な書き間違いでしょうね．細かくは見ていませんが，ざっと見たところでは他に誤りはなさそうです．

質量が等しくない場合も同様に解けます．一般に，このような２体問題は，相対座標と換算質量を用いることによって１体問題に帰着させて解くことができます．

Re: ２体問題について

ゆうさんのレス (2007/01/08(Mon) 13:26)

こんにちは．お返事ありがとうございます．

そうですね， $\omega = \sqrt{\frac{2k}{m}}$ とした方が良いですね． t=0のときsin(ωt)=0ですね．^_^; 最終的には

$Y(t) &= a \, cos\left(\sqrt{\frac{2k}{m}} t\right) + l$

でした．ありがとうございます．

また，追加の質問なのですが，問５で物体１，２の質量が m_1,m_2 の場合

$m_2\frac{d^2x_2}{dt^2} - m_1\frac{d^2x_1}{dt^2} &= -k(x_2 - x_1 - l) -k(x_2 - x_1 - l)\\(m_2-m_1)\frac{d^2x_2 - x_1}{dt^2} &= -2k(x_2 - x_1 - l)$

となるのでしょうか？

PS. このTeXでは数式に番号を付けられないのでしょうか？ TeXの中で以下のように記入してもエラーになるようです． begin{eqnarray} Y(t) &= a , cosleft(sqrt{frac{2k}{m}} tright) + l end{eqnarray

Re: ２体問題について

CO さんのレス (2007/01/08(Mon) 13:49)

こんにちは．

$F = ma \tag{1}$

のように tag 命令を使えば式番号を付けられます．

Re: ２体問題について

yama さんのレス (2007/01/08(Mon) 14:35)

計算が間違っているようです．

２つの物体の質量が異なる場合は $m_2\ddot x_2=-k(x_2-x_1-l)$ に m_1 を掛けたものから $m_1\ddot x_1=k(x_2-x_1-l)$ に m_2 を掛けたものを差し引きます． $m=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2},\quad Y=x_2-x_1$ と置くことによって次の運動方程式が得られます． $m\ddot Y=-k(Y-l)$

Re: ２体問題について

ゆうさんのレス (2007/01/11(Thu) 01:31)

こんばんは．

yamaさん，COさんご回答ありがとうございます．休みの日にゆっくり見させて頂きます．

難しい問題じゃないと思うのですが，なかなか解くことができず，どこか根本的に理解不足なのかなぁと思っています．時間をかけながらやっていきます．ありがとうございました．

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