斜面上の物体を引く力

斜面上の物体を引く力

seal さんの書込 (2006/12/27(Wed) 17:07)

はじめまして．高１のsealと申します． わからない問題があるので，教えていただきたいと思います．

【問題】 傾角αの斜面に質量ｍの物体を置いて，物体を糸で引く．引く力を最小にするには，どの向きに糸を引けばよいか．（斜面と物体の間の静止摩擦係数をμとする．）

／＿＿＿糸 ／θ 斜面\ ＿＿＿＿

【考察】 図（見にくくてすいません）のように，糸を引く向きと斜面に平行な向きとのなす角をθにして，物体が動き出す直前の釣合の関係から，引く力fを求めてみました．すると，

f={(μcosα-sinα)mg}/(cosθ+μsinθ)

となりました．ここからどうすればいいかわかりません．そもそもfの値があってるかどうかもわかりません． よろしくおねがいします

Re: 斜面上の物体を引く力

CO さんのレス (2006/12/27(Wed) 21:25)

seal さん，こんばんは．

f の分子の \sin\alpha の符号が私のやったのと違いますが，他は一致しました． 機械的にやるならば微分してもできますが，高1 とのことなので別な方法を考えてみましょう．

三角関数の合成はもう習いましたでしょうか？ 三角関数の合成を行うと，

\cos\theta + \mu\sin\theta & = \sqrt{1+\mu^2} \left( \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}} \cos\theta + \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}} \sin\theta\ \right)\\& = \sqrt{1+\mu^2} \cos \left( \theta - \delta \right)

とかけます．ここで \delta は \tan\delta = \mu となるような \delta です．

分母の値が大きければ大きいほど， f としては小さくなるので， \theta = \delta のところで f はもっとも小さくなるのではないでしょうか． 高1の問題としては難しいかもしれませんね．もっと簡単な方法があるのかもしれません．

Re: 斜面上の物体を引く力

CO さんのレス (2006/12/27(Wed) 21:42)

あ，私は図を次のように書きました． 問題としてはどちらを意図しているんでしょうね． とりあえず，上の情報をもとにもう一度考えてみてください．

<pre> f ↑ θ| | |／／ ／ ／ </pre>

Re: 斜面上の物体を引く力

seal さんのレス (2006/12/28(Thu) 12:18)

coさん，返信ありがとうございます．

三角関数の合成はもう習いましたが，それを使うとは思いもよりませんでした．

問題に添えられていた図は，coさんの図のようではなく，糸で下側に引っ張られるような図になっていました．

fの値は，もう一度慎重に計算してみたいと思います．

ちなみに，微分を使ってもできると書かれていましたが，それはどのようにすればいいのでしょうか．一応，数?の微分までは知っています．この範囲で解けるのなら教えていただきたいと思うのですが・・・．

Re: 斜面上の物体を引く力

CO さんのレス (2006/12/28(Thu) 13:16)

> 問題に添えられていた図は，coさんの図のようではなく，糸で下側に引っ張られるような図になっていました．

なるほど，そちらでやったら seal さんの f と一致しました．

> 微分を使ってもできると書かれていましたが，それはどのようにすればいいのでしょうか．

f(\theta) を \theta で微分してやり，増減表を書けば良いです．

とりあえず一階微分を計算してみると

f'(\theta) = mg \frac{\mu\cos\alpha-\sin\alpha}{(\cos\theta+\mu\sin\theta)^2} \left(\sin\theta-\mu\cos\theta\right)

となります． f'(\theta)=0 となる \theta を求めると，

\mu\cos\theta-\sin\theta = 0

となります．これを満たす \theta が f(\theta) を最小(または最大)にします． 計算してみるとすぐにわかりますが， \tan\theta = \mu となるような \theta ということで，三角関数の合成から求めた結果と一致します．

色々と細かい条件を省きました．正確な計算は seal さんがやってみてください． :)

Re: 斜面上の物体を引く力

seal さんのレス (2006/12/28(Thu) 16:47)

ありがとうございます．早速やってみます．

Re: 斜面上の物体を引く力

seal さんのレス (2006/12/30(Sat) 20:31)

f={(μcosα-sinα)mg}/(cosθ+μsinθ)を微分したら (df/dθ)=-(μcosα-sinα)mg(μcosθ-sinθ)/(cosθ+μsinθ)^2 となって，coさんと異なったんですけど…（マイナスの有無） どこかで間違ったのでしょうか？

Re: 斜面上の物体を引く力

seal さんのレス (2006/12/30(Sat) 21:30)

あと，増減表の書き方もよくわかりません．（θの範囲はどうすればよいのかとか．） おねがいします．

Re: 斜面上の物体を引く力

CO さんのレス (2006/12/31(Sun) 00:18)

> coさんと異なったんですけど…（マイナスの有無）

マイナスの有無は私のミスでした． (上のは修正しておきました)

Re: 斜面上の物体を引く力

seal さんのレス (2006/12/31(Sun) 01:33)

そうでしたか． 増減表はあきらめて，第二次導関数を考えてみました．

g=f/{(μcosα-sinα)mg}=(cosθ+μsinθ)として，gをθで微分すると

dg/dθ=(sinθ-μcosθ)/(cosθ+μsinθ)^2

もう一回θで微分すると

d^2g/dθ^2={1/(cosθ+μsinθ)}+{2(μcosθ-sinθ)^2/(cosθ+μsinθ)^3}

よって，fをθで二回微分したものは

d^2f/dθ^2=(μcosα-sinα)mg[{1/(cosθ+μsinθ)}+{2(μcosθ-sinθ)^2/(cosθ+μsinθ)^3}]

これに，θ=tanインバースμを代入すると，

1/(μ^2+1)cos(tanインバースμ)

となって，これが正になることを示せればいいと思うのですが，わかりません おねがいします