ミナ さんの書込 (2006/12/07(Thu) 08:04)

はじめまして，アメリカに留学をしているミナです． 授業で出た課題について，質問させてください．

１つの物体の動きについて計算したいのですが， どうも矛盾が生じてしまうので，困っております． その問題は，このサイト様でも出ている， 空気抵抗がある場合の物体の動きです．

しかし，条件が空気抵抗以外に，重力が不定（時間に依存）という状況で 物体の位置を求めたいのですが この場合も，

ma = mg - kv^n としていいものなのでしょうか

ｇはベクトルでg(t) = <-2+sin(t),-32+cos(t)> ft./s です．（２次元）

他サイト様（数学）の方で，この式を元に計算させていただいたのですが， 後々，部分的に矛盾が出てしまうのです． （計算自体はそのサイト様で質問させていただいたので，ここでは省略いたします） なので，最初のこの設定（式）に問題があるのではないかと思い， 質問させていただきました．

一応，分かっているのは初期条件 （最初の位置，初速度，角度，空気抵抗の加速度，重力）と目的地のｙ座標だけで， 質量ｍや空気抵抗の係数ｋは，分かっておりません． この状況で位置（ｘ軸）を変数なしに出さなければなりません．

力の方程式以外に，この状況で使える式があったら教えてくださいませ．

Joh さんのレス (2006/12/07(Thu) 09:47)

運動方程式の意味を，もう一度考えてみましょう．運動方程式は，加速度，質量，力が満たす関係を表わすものですが，微分方程式の形で書かれていますから，これは『瞬間的な関係』を表わす，という考えるのが適当だと思います．

（一般に，微分方程式が記述するのは瞬間瞬間の状態です．もちろん運動の状態は，連続的で微分可能だと仮定されています．）運動全体を通じた変化を知るには，これは積分しなくてはなりません．

運動の瞬間瞬間では，ma = mg - kv^n が成り立っていると思います．ただし，何が定数で何が時間の関数なのか，しっかり確認して下さい．あとは，初期状態が分かっているわけですから，これを積分すれば速度や位置が出ると思います．

他のサイトで行った計算で，何が矛盾になるのか教えてください． （私はイギリス在住ですが，さすがにft/sは使いません（笑））

ミナ さんのレス (2006/12/07(Thu) 10:35)

返信ありがとうございます．

ft/s を使うのは，この問題が数学で出たからなんです． 物理の授業ではもちろんm/sを使っていますよ．

この式の計算は相当複雑です． 矛盾しているところまで行くのに結構な道で，長くなってしまいますので， 結構省略します．計算で分からないところがあったら言ってください．

まず，ｇにsin(t)，cos(t)が含まれているので， 座標をｘ−ｙから虚数に変換します．（以下，出てくる i は虚数です） a = S" v = S' k/m = C とすると最初の式は

S" + CS' - (-2-32i) - ie^(-it) = 0

ｔについて積分し，

S' + CS - (-2-32i) + e^(-it) + C1 +iC2 = 0 ・・・C1 C2 は積分定数

この時点でいったんx-y平面に直し，ｔ＝０の時について検証します V(x) = -CS(x) - 2t - cos(-t) + C1 V(y) = -CS(y) - -32t -sin(-t) + C2 ｔ＝０のとき，座標(0,0)から2000ft/sで60°に発射しますので， C1 = -1001 C2 = -1000√3 が得られます

先ほどの式に戻ります． このままだと積分できないので， S = Ue^(-Ct) とします U'e^(-Ct) - (-2-32i)t + e^(-it) - (C1 + iC2) = 0 全ての項をe^(Ct)で掛けて，積分します． U - (-2-32i)(te^(Ct)/C - e^(Ct)/(C^2)) + e^((C-i)t)/(C-i) - (C1+iC2)e^(Ct)/C + C3 + iC4 = 0

U を Sに戻し，すべての項をe^(-Ct)で掛けます S - (-2-32i)(t/C - 1/C^2) + e^(-it)/(C-i) - (C1 + iC2)/C + (C3 + iC4)e^(-Ct) = 0 になります．

この時点でｘ−ｙ平面に直し，ｔ＝０の状態を当てはめると， -2/C^2 + C/(C^2 +1) - C1/C + C3 =0 -32/C^2 + 1/(C^2 +1) - C2/C + C4 = 0 の２つの式が得られます．

C, C1, C2, C3, C4 すべて解かないとならないので， もう一度，この式を微分し，S"のない，S'の式を求めます （定数たちを求めるため） 微分すると， S' - (-2-32i)/C -ie^(-it)/(C-i) - C(C3+iC4)e^(-it) = 0

ｘ−ｙ平面でｔ＝０の時を求めると， V(x) = -2/C + 1/(C^2 + 1) -CC3 V(y) = -32/C - C/(C^2 + 1) - CC4

と，ここまで書いて，混乱してきたので，少し，計算しなおしてから， 続きを書きます． これを続けると定数が微妙に合わなくなったりしてくるのですが・・．

ミナ さんのレス (2006/12/07(Thu) 19:30)

計算を数時間繰り返した結果，矛盾の問題は解決しました． Johさま，お手数をかけました．

しかし，どうやっても，k/mを克服できそうにありません． 物理が苦手なもので， 他のどの法則もこの状況に合わない気がし， 使える法則がわかりません・・．

式を見る限り，何か他の法則を併用しないといけないと思うのですが・・・． 何かありませんでしょうか？

zoro さんのレス (2006/12/10(Sun) 16:03)

ミステリアスなままで，とても気に掛かっています．

問題自体が判らないとなんとも言えないと思います．もし宜しければ，英文のままで結構ですから，問題をお示しください．

また「k/mを克服できそうにありません」とは何か説明できますか？ もし，英文問題に書いてあれば，その必要はありませんが...．

なんとなく さんのレス (2006/12/11(Mon) 12:06)

ミナさん，初めまして，なんとなくです．

私もzoroさんのように気になっていたので，ひとこと．

最初の質問は空気抵抗が速度のn乗に比例であったのに，途中の説明は１乗ですね．難しさが段違いです．というのは，速度に線形な抵抗力の場合，運動方程式をｘ，ｙ方向に簡単に分解でき，独立に解けるからです．酷くややこしい解き方で説明されていますが，それはおそらく1元１階微分方程式で無理やりするためで，本質的には２元２階微分方程式（しかも，独立なので実際は１元２階）として扱えば，シンプルです．（k/m）はそれを（数値）パラメータとして図示なり，比較なりをせよ，ということでしょう．つまり，(k/m)=0.1,0.2・・・1,10などとして重ね書きすれば，抵抗力の大きさの違いによる最高点と到達地点の違いが見られるわけですね． もうひとつ気になるのは，座標系の取り方です．初速2000ft/sで角度60度なら，通常は初速の方向を右手側にx軸正にとり，上空側をy軸正にとります．説明の中の符合はx,yともこれと反転しています．どちらをとっても物理的には同等ですが，gに具体的に値が入っているので，気をつけないといけませんね． 解が合っているかどうか必要なら，合わせてみましょう． ではまた．