キリミッコ さんの書込 (2006/12/03(Sun) 18:13)

わからないことがあったので質問をさせていただきます．

偏導関数の意味についてなんですが， ｆｘｘはｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）のグラフをｙが一定の面で切った切り口でのｘ方向でのグラフの曲がり方を示す．（ｆｘｘはの二階偏微分） 同様にｆｙｙはｘが一定の面できった場合の，ｙ方向でのグラフの曲がり方を示す． というのは多分あっていると思います．

わからないのは，ｆｘｙとｆｙｘの意味がちょっとわかりませんでした．ｘとｙの両方傾きでしょうか？ どなたか教えてください． それと他に補足等のｆｘ，ｆｘｘ，ｆｘｙ等の物理的な意味があったら教えてくださるとありがたいです．

二階微分はグラフの凹凸（曲がり方）を表すので変極点のようなものも見つかるのでしょうか？

いろいろ質問してしまいましたが，わかるのでいいので教えて下さい．

ミュフ猫 さんのレス (2006/12/03(Sun) 20:55)

キリミッコさん，始めまして．

>二階微分はグラフの凹凸（曲がり方）を表すので >変曲点のようなものも見つかるのでしょうか？

三次元曲面の極大点や極小点を見つけるときに， 偏微分を繰り返し行って第二次偏導関数を導出し， 二階微分係数を求めてそれを用いることはあると思います．

>わからないのは，ｆｘｙとｆｙｘの意味がちょっとわかりませんでした． >ｘとｙの両方傾きでしょうか？

言葉で説明しづらいのですが，こう考えるのはどうでしょうか． 簡単のため，曲面上の任意の点における法線ベクトルとZ軸とのなす角が， 鋭角となるような曲面を考えます． （つまり，曲面がz=f(x,y)の形の方程式で表せる場合． これも陽関数って言うのかな？） fxx=(∂/∂x)(∂f/∂x)とfyx=(∂/∂y)(∂f/∂x)の意味の違いは， fxxがxz平面上おける曲面の「傾き」のx軸方向の変化率であるのに対し， fyxはxz平面上おける曲面の「傾き」のy軸方向の変化率となります． ですから，fxxのイメージは曲線の曲がり具合で二次元の場合と同じです． 一方，fyxのイメージは「傾き」の移り変わり度です． 例えば，競輪のプラットホームのように，自転車が進むにつれて， コーナーとストレッチでは傾斜が移り変わって行きます． コーナーの入口と出口で，傾斜が大きく移り変わります． ストレッチでは，ほとんど傾斜が変化しません．自転車の進行方向がy軸方向で， 傾斜がxz平面上おける曲面の「傾き」に相当します． 私はこのように考えています．

キリミッコ さんのレス (2006/12/03(Sun) 21:47)

ミュフ猫さんはじめまして． 返信ありがとうございます．

わかりやすそうな例をありがたいのですがちょっと質問で ＞コーナーとストレッチでは傾斜が移り変わって行きます． のところはストレッチとは直線のことで，直線からコーナーにいくにしたがって 進む方向を前とすると，右側のほうが上がっていくようになっていってその傾斜が進むにしたがって変わる（移り変わり）のでその度合いがfyxであって， コーナーは曲がってなくて伸ばしたように直線を走っているという解釈でいいんでしょうか？ ようは直進している道の左右の傾斜の変わり具合ですかね？なんかうまくいえませんが．

ミュフ猫 さんのレス (2006/12/03(Sun) 22:33)

キリミッコさんへ

>要は直進している道の左右の傾斜の変わり具合ですかね？

そう思います． なかなか，言葉で説明しづらいのですが，例えば，二人でカーペットを持ち上げ， 一人が水平に，一人が垂直に両手の位置を固定すると，当然，カーペットは， ねじれます． 二人の人間が向かい合う方向に対して，単位長さ当たりのねじれ量がfyxです． もちろん，右回転にねじれるか左回転にねじれるかで符号が変わるのですが．

yama さんのレス (2006/12/03(Sun) 23:14)

ちょっと気になるのですが・・・ fyx=(∂/∂y)(∂f/∂x) ではなくて fyx=∂fy/∂x=(∂/∂x)(∂f/∂y) ではないでしょうか？

また，fx=0 のときはカーペットの説明でいいと思いますが，そうでない場合はちょっと違うように思います． 地表に沿って一定の方向（x方向）に進む場合，一般には上り下りがあるので，直線でなくて曲線になりますね． その曲線にそって進むときの左右の傾斜の変化率が fyx になるのだと思います．

キリミッコ さんのレス (2006/12/04(Mon) 00:25)

ミュフ猫さん yamaさん 二人とも返信ありがとうございます．

たしかにfxｙ=(∂/∂y)(∂f/∂x) でした． まとめるとfxｙは， xz平面上おける曲面の「傾き」のy軸方向の変化率つまり「傾き」の移り変わり度合いであり， それは，地表xz平面に沿って一定の方向（ｙ方向）に曲線にそって進むときの左右の傾斜の変化率といえる．

例が ねじれたカーペットの進む方向に上り下りがあって，その曲線を一定の方向進むときの単位長さ当たりのねじれ量（左右の傾斜の変化率）．右回転にねじれるか左回転にねじれるかで符号が変わる． となるんでしょうかね．