ai さんの書込 (2006/11/19(Sun) 18:53)

地球上北緯θにおいて質量ｍの質点が自由落下する． このときの運動方程式は ｘ軸ｍa＝２ｍωVysinθ ｙ軸ｍｂ＝−２ｍω(Vxsinθ+vzcosθ) ｚ軸ｍｃ＝−mg+２ｍωVycosθ であらわせる．ωは角速度である． 落下してから時間ｔ後の質点の位置を求めよ．

という問題なのですが．それぞれの加速度がわかるので．1/2at^2の式に代入すればいいのでしょうか．それだけだと普通の運動となんら変わりないと思うのですが他に何か考慮しなければならないのでしょうか？

yama さんのレス (2006/11/19(Sun) 20:36)

運動方程式の右辺が速度を含んでいることに注意しましょう． そのために加速度が定数でなくなるので，1/2at^2の式は適用できません． 運動方程式を微分方程式と考えて解くことが必要です．

ai さんのレス (2006/11/19(Sun) 21:00)

微分方程式を解こうと思ったのですが，解き方がわかりません．

yama さんのレス (2006/11/19(Sun) 23:24)

厳密に解くのは難しいと思います． コリオリ力を摂動と考えて，近似的に解けばいいのではないでしょうか．

ai さんのレス (2006/11/20(Mon) 00:02)

どのような近似が使えるのですか？

ｙama さんのレス (2006/11/20(Mon) 10:46)

コリオリ力がない場合の運動を0次近似として，0次近似の速度を運動方程式の右辺に代入して，それを解けば1次近似の運動が求まります．

なんとなく さんのレス (2006/11/21(Tue) 13:21)

>aiさん，こんにちは，なんとなくといいます．

まいど，横レスで失礼します． この（連立）微分方程式は線形でそれほど難しいものではないので，近似の確かめのために（本末転倒？）厳密解を出してみました．少しヒントだしていいですか． 式を見易くするため，a=2ωsinθ,b=2ωcosθと置き，整理すると， x''=ay' ・・・? y''=-ax'-bz'・・・? z''=-g+by'・・・? と置けます（ドットの代わりにダッシュを使用しています）． ?をさらに微分し， y'''=-ax''-bz''=-a^2y'-b^2y'+bg=-4ω^2y'+bg(∵a^2+b^2=4ω^2) ここで，p=y'と置けば， p''+4ω^2p=bg これは単振動の微分方程式なので，p=Acos(2ωt+δ)+bg/4ω^2 が解です． これから，初期条件(t=0でx=y=z=0,x'=y'=z'=0)を使って，順に積分定数を 決めていけば良いと思います．