あき さんの書込 (2004/07/10(Sat) 21:33)

私も物理のテスト直しなんですけど・・・月曜に出さなければいけないので，焦ってます．もし分かったら教えてください．高校２年の問題です．

問題；傾斜角ｒの斜面上に，質量Ｍ，長さＬの物体Ａを置き，その上に質量ｍの 物体Ｂを置く．斜面上をＡが，Ａの上をＢがそれぞれ下方に滑り出した． 重力加速度ｇ(9.8ではない)とする．(斜面とＡの間の動摩擦力係数はμa'，ＡとＢの間の動摩擦力係数はμb')

?斜面に対するＡの加速度を求めよ． ?斜面に対するＢの加速度を求めよ． ?滑り出してからｔ秒間に，ＢがＡの上を移動した距離を求めよ．

答え?(sinｒ−μa'cosｒ)ｇ＋ｍ/Ｍ×(μb'−μa')cosｒ・ｇ ?(sinｒ−μb'cosｒ)ｇ ?１/２(μa'−μb')×(Ｍ＋ｍ)/Ｍ×ｔ・ｔ・ｇcosｒ

K さんのレス (2004/07/11(Sun) 11:10)

なんか偶然掲示板を見てしまってこの問題考えたんですけどどうも答えが合わない．．． 答えおかしくないかなと思い書き込んでみました． 例えばAとBに摩擦が働かない場合を考えるとBはAの上を完全に滑らかに滑るわけでAとBが一体となって運動する（つまり質量M+m）と考えられますよね？そうなると運動方程式は加速度をaとして(M+m)gsinr-(M+m)gμa'cosr=(M+m)aとなりa=g(sinr-gμa'cosr)となりますね． ところでAB間に摩擦が働かないということはμb'=0ということでこれをあきさんの書き込みの答えの?に代入しても上で求めた結果と異なります． ちなみに?の解答も怪しいと思うんですが．この解答は斜面に対する加速度ではなくAに対する加速度のような気がしますが．Aを動かさずに斜面に固定してBの加速度を求めると?に一致しますよね？これは当然斜面とAに対する加速度なのですが今問題ではAも動いてます．ということはAを固定した場合のBの加速度にAの加速度を加えてあげる必要があるのでは？？？ きっとあきさんの書き込んだ答えは高校の物理教師が与えたものだと思うので「おかしいぞ！」ってわ自信を持って言えないので他の人意見をお願いします．そしてこの書き込みであきさんをさらに混乱させることになったらごめんなさい． 読みにくい文面でスマソ．．．

あき さんのレス (2004/07/11(Sun) 15:14)

確かに?の答えはＡに対しての加速度になってると思います． 答えは先生が与えてくれたもので，書き込みに間違いはありません． これからまた考えてみたいと思います． どんなことでもいいので，もし何か分かったら，ぜひ教えてください！！

問題の付け足し 正面から見て斜面が右上がりだとすると， 物質Ｂは物質Ａの右端にあります．

やかん さんのレス (2004/07/11(Sun) 15:59)

あきさん，こんにちは．こないだせっかくの高校生の御質問にデタラメな回答でご迷惑をかけてしまった”やかん”です．そういううわけで，以下の内容はまゆつばものですので，どなたかちゃんとした人（上のKさんや，管理人さんや，COさんや，ブルーさんや，その他，私以外の方）のご批判をいただいてから，ご採用の可否をお決め下さい． １）BはA上を運動していてもあらゆる瞬間でAに接触していて重量ｍｇがかかっているのでKさんがおっしゃる通り，Aは質量（M＋m）の物体と考えると 運動方程式は（Aの加速度をａ（Ａ）とすると）， （M＋m）ａ（Ａ）＝（M＋m）ｇsinｒーμa'（M＋m）ｇcosｒ 両辺（M＋m）で割って ａ（Ａ）＝ｇsinｒーμa'ｇcosｒかなあ？

２）Bも似てますが台であるA自体が下に加速しているので逆向きの慣性力を 式に加えると（Bの加速度をａ（Ｂ）とすると）， ｍａ（Ｂ）＝ｍｇsinｒ−μb'ｍｇcosｒ−ｍａ（Ａ） 両辺ｍで割って，ａ（Ａ）に１）の解を代入すると，

ａ（Ｂ）＝ｇsinｒ−μb'ｇcosｒー（ｇsinｒ−ｇμa'cosｒ） ＝ｇ（μa'ーμb'）cosｒですか？

３）Sを求める距離とすると， S＝０．５ｘａ（Ｂ）ｘｔｘｔで２）の解をａ（Ｂ）に代入すると S=ｔｘｔｇ（μa'ーμb'）cosｒ／２ん〜かな〜？（ｔ２乗の記号出なくてすみません） おおうそだったら，間違いやすい例としてお使い下さい．詳しくなくてすみません・・．

CO さんのレス (2004/07/11(Sun) 16:44)

やってみましたが，先生の示してくれた答えはあっていると思いますよ．

崎間 さんのレス (2004/07/11(Sun) 17:09)

あきさんこんにちは． Kさん，やかんさんご回答ありがとうございます．まず，

> 例えばAとBに摩擦が働かない場合を考えると
> BはAの上を完全に滑らかに滑るわけで
> AとBが一体となって運動する（つまり質量M+m）と考えられますよね？

ここがおかしいようです．AとBに摩擦力が働かなければ， AはBから全く作用を受けません．ないのと同じです．

A，Bの垂直抗力をそれぞれ N_A，N_Bとすると， Aの運動を考える場合は

・重力Mgの斜面下向き成分（Mg sinｒ） ・Aの斜面に対する摩擦力（- N_A×μa'） ・BのAに対する摩擦力（N_B×μb'） ・Bの斜面に対する摩擦力（- N_B×μa'）

の4つの力を考え，運動方程式に代入します．また，

N_A = Mg cos r N_B = mg cos r

ですから，これらから (1) の答えが得られます．

Bの運動の場合は

・重力mgの斜面下向き成分（mg sinｒ） ・BのAに対する摩擦力（-N_B×μb'）

の二つを考えます．運動方程式から (2) の答えが得られます．

(1)と (2) で加速度が得られたので， それらから (3) の答えが得られます．

高校力学で物体の運動を問題にする場合， （重力以外の）働く力はあくまで「触れている」ものからです． 安易に質量の和をとると，余計複雑になってしまいます． 力を一つ一つ数え上げればいいです．

CO さんのレス (2004/07/11(Sun) 17:12)

> 例えばAとBに摩擦が働かない場合を考えるとBはAの上を完全に滑らかに滑るわけでAとBが一体となって運動する（つまり質量M+m）と考えられますよね？

これは本当ですか？「一体となって運動する」とはどういう意味でしょうか． B は A の上を滑らかに滑るかもしれませんが，Aは斜面上を滑らかに滑ってませんよね．つまり，Bは普通に斜面を滑らかに滑っていく運動をしますが，A は μ'a(M+m)cos rの大きさの摩擦力を受けながら斜面上を運動することになります． このとき「一体となって運動する」と言えるのでしょうか．運動方程式は K さんが与えたようにはならないと思います．

> ちなみに?の解答も怪しいと思うんですが．この解答は斜面に対する加速度ではなくAに対する加速度のような気がしますが．Aを動かさずに斜面に固定してB の加速度を求めると?に一致しますよね？

物体Aが動いていようと静止していようと，物体Bが動いているときAから受ける摩擦力の大きさはμ'b mg cos r です．重力は mg sin r ですので，Bについての運動方程式は ma = mg sin r - μ'b mg cos r となりますよね．

CO さんのレス (2004/07/11(Sun) 17:19)

わ，管理人さんに先を越されてしまった． とりあえず，そういうことです．「運動方程式のたてかた」にしたがってキッチリやれば普通に解けます．

ところで，長さLって使ってませんよね．最後の (3) 番は実は物体BがA上をLだけしか滑れないので上限がLです．でも，先生の解答ではそんなことやってないし・・．まぁ，あんまり細かいことは気にするなってことでしょうか．

崎間 さんのレス (2004/07/11(Sun) 17:32)

またしてもCOさんとニアミスでしたね． 長さL，存在を忘れてました．先生も忘れてんでしょうか．

今回，久しぶりに高校物理って感じの運動方程式を解きました． 解く途中，実は少し悩んでました． 以前の，電車の中の振り子の問題もそうでしたが， この手の問題は，先入観があるとうまく行きませんね．

いろいろ勉強になりました． 今後のこのサイトの記事に生かしたいと思います．

CO さんのレス (2004/07/11(Sun) 17:38)

そうですね，いかにも高校物理って感じの問題ですね．

昔の自分もそうでしたが，「運動方程式のたてかた」ってのをきちんと知らないで問題を解いてる人が多いのではないでしょうか．もしくは知っていてもなかなか問題を解くときにきっちりと適用できないとか．

K さんのレス (2004/07/11(Sun) 17:52)

そうか．．． そうだったのか．．．． 久しぶりに古典力学を見つけて「俺はこれを解けるのか？」というささやかな疑問と大いなる好奇心で臨みましたがどうやら解けなかったらしい（涙） ありがとうございました，管理人さん，COさん． ってこの書き込みだけ見ると俺がこの問題について質問したみたいだ．．．

tomo@M1 さんのレス (2004/07/11(Sun) 18:26)

去年の教育実習を思い出しました．ちょうど運動方程式を教えたんですよねぇ． 研究授業の際に作った学習指導案（指導計画）を見てしまいました．似た問題でした．

ポイントは， (1)正確に力を書き出すこと． (2)この系の運動は，斜面に平行な方向と，斜面の垂直な方向に分解して考えると理解すること． (3)斜面に垂直な方向と斜面に平行な方向について，正確に立式すること．

・斜面に垂直な方向 物体A：Mg・cosr＋N_B=N_A 物体B：mg・cosr=N_B

というわけで，物体Bが物体Aから受ける垂直抗力N_Bは，mg・cosrですが， 物体Aが斜面から受ける垂直抗力N_Aは，(m+M)g・cosrです．

・斜面に平行な方向（Aの斜面に対する加速度α(A)，Bの斜面に対する加速度α(B)） 物体A：Mα(A)=Mg・sinr-μa'N_A+μb'N_B 物体B：mα(B)=mg・sinr-μb'N_B

以上から，(1)と(2)の答えが得られます．(3)は，(1/2)(α(B)-α(A))(t^2)で計算できます． 「長さＬの物体Ａ」と書いてあることを考慮すると，この計算結果がLより 小さければそのまま答えとなり，Lより大きければ答えはLということに なるとは思いますが…その場合分けまで要求してないっぽいですね(^-^;)．

やかん さんのレス (2004/07/11(Sun) 18:40)

大変勉強になりました．有難うございました． ＞昔の自分もそうでしたが， 今の”やかん”が，そ〜で〜す． ＞安易に質量の和をとると，余計複雑になってしまいます． 大変大事な教訓だと思います．単純に質量和（M＋m）で考えられるのは BがA上で静止（μ'bがすっごく大きいときだけ）しているときのみで あとはBのA上の運動状態によりAの運動が変わってきてしまうのですね． （Aの周りに目隠ししててもAの運動状態からBの運動状態が逆算できるかも） 難しい問題になりそう・・．

崎間 さんのレス (2004/07/11(Sun) 18:55)

> ・斜面に垂直な方向 > 物体A：Mg・cosr＋N_B=N_A > 物体B：mg・cosr=N_B

なるほど，目から鱗です． 僕も少し勘違いしていた部分があります． さすが教育実習ですね．僕に教師は無理です．

> Aの周りに目隠ししてても
> Aの運動状態からBの運動状態が逆算できるかも

ブラックボックステストみたいなやつですね． 実際こういう考えは，いろいろな部分で使われてそうです．

tomo@M1 さんのレス (2004/07/11(Sun) 21:30)

ぃゃ・・・教育実習で扱った問題は，この問題で物体Bがないものでした(^-^;)． 物体Bがあってもなくても，考え方になんら変わりはないですが， 物理を始めたばかりの高校生は，すごく難しくなったように感じると思います． 実際，私もそうでした．

あき さんのレス (2004/07/11(Sun) 21:47)

考え方が分かりました．これから自分でまとめてみようと思ってます． また分からなくなったら質問するのでよろしくお願いします． 次のテストの時も聞きに来るかもなんで，そのときはまた教えてください． たくさん答えてくれて，ありがとうございました!!