波動関数について・・・．

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波動関数について・・・．

ドンマイ星人さんの書込 (2006/11/05(Sun) 13:49)

こんにちわ．演習問題にこのような問題がありました．

「時間によらない波動関数の1回微分は，V(x)が有限のとびを持つところであっても連続である事を示せ．」

・・・この問題，連続である事は確かにイメージ付くのですが，果たしてどのように証明するか，その方法がわかりません． 2回微分して，定数(実数？)になればいいのかな・・・なんだかよく分かりません．どなたか，智恵をお貸しくださいませ<(_ _)>

Re: 波動関数について・・・．

のぼりんさんのレス (2006/11/06(Mon) 02:50)

こんばんは．眠れなくて起き出して仕舞いました．門外漢の戯言ですので，頓珍漢かも知れません．その節はご容赦下さい．

「Ｖ（ｘ）」ということは，一次元の時間によらない波動方程式 $-\frac {\hbar^2} {2m} \frac {d^2 \phi} {dx^2} + V(x) \phi = E u$ ですね？ $f(x) = \frac {2m} {\hbar^2} \{E - V(x)\}$ とおけば，ｆ（ｘ）は高々可算個の離散点を除き性質の良い（たとえばリプシッツ連続な）関数で，方程式は，

$\frac {d^2 \phi}{dx^2}(x) + f(x) \phi (x) = 0 \tag {1}$

になります．この離散点を …，ａ _−２，ａ _−１，ａ _０，ａ _１，ａ _２，… だとします．前提より，各ａ _ｋにおけるｆの跳びは有限です．従って， $\lim_{x \to a_{k+1} - 0} f(x)$ が存在します．開区間（ａ _ｋ，ａ _ｋ＋１）において，ｆをａ _ｋ＋１から ε だけ右側に連続になる様に適当に延長し，これをｆ’ として，（ａ _ｋ，ａ _ｋ＋１＋ε）で性質が良いとします．このｆ’ に対し，（ａ _ｋ，ａ _ｋ＋１＋ε）において，初期条件 φ（ａ _ｋ＋１）＝ｃを満たす（１）の一般解が一意に存在します．これをｕ（ｘ，ｃ）と書きます．同様に，（ａ _ｋ＋１ −ε，ａ _ｋ＋２）で，左側に延長したｆに対し，初期条件 φ（ａ _ｋ＋１）＝ｃを満たす（１）の一般解が一意に存在します．これをｖ（ｘ，ｃ）とします．

$\phi (x, c) = \left\{\begin {array} {cl}u(x, c) & \left( a_{k} < x \le a_{k+1} \right) \\v(x, c) & \left( a_{k+1} \le x < a_{k+2} \right)\end {array}\right.$