運動量保存について

えりさんの書込 (2006/08/31(Thu) 22:11)

こんにちは，高卒の受験生です．解説を読んでいてわからないところがあったので投稿させていただきました．

「質量mの台車Aと質量Mの台車Bを長さLの糸でつなぎ，A,Bの間にばね（自然長L0，ばね定数k）をそのばねの自然長より短く縮めてはさみ，全体を水平な床の上に静止させた．ただし，糸およびばねの質量と，床と台車の間の摩擦は無視できるものとする．この状態から，糸を静かに切ったところ，静止していたAとBはばねに押されて左右に動き始めた．ばねの長さが，自然長になったところでAとBはばねから離れ，床の上をそれぞれ一定の速度で運動した．そのときのAの速さは(L0-L)√{kM/m(m+M)}であり，Bの速さは(L0-L)√{km(m+M)}である．Aが動き始めてからばねから離れるまでの間にAが床に対して移動した距離を求めよ．」

という問題で，運動量が保存されることから，ばねから離れるときのA,Bそれぞれのx座標をx0,X0とおいて， mx0+MX0=ML -x0+X0=L0 という式が立式されるそうです．第二式がどうして立てられるのかわかりません．教えて下さい．宜しくお願いします．

Re: 運動量保存について

吾人さんのレス (2006/08/31(Thu) 23:59)

-x0 + X0 = L0 の意味がわからないという認識でよろしいですね？

初期状態（糸が切られる前の状態）で，両台車の真ん中を原点としています． x0はその原点からAの台車が動いた距離， X0は原点からBの台車が動いた距離です．ただし，原点からBの台車が動いた方向を正方向としています． AはBとは逆方向のため，負の値です．（x0 < 0) 両台車がばねから離れるまでの距離がx0，X0なので，その和はL0になります．

Re: 運動量保存について

えりさんのレス (2006/09/01(Fri) 00:46)

なるほど，納得がいきました．確かにそのとおりになりますね（＞＜）どうもありがとうございました．それと，第一式は運動量保存の式をtで積分しただけの式と理解してよいのですよね…？（重ね重ねすみません…）

Re: 運動量保存について

mNeji さんのレス (2006/09/01(Fri) 10:56)

えりさん：

横から逆質問です．

最近の高校の物理がどのように教えられているか判らないのですが，私にはとても難しい問題にみえます．これは塾かなにかで，特別なクラスでの課題ですか？

ご質問自体は「全運動量の保存」に付いてですが，「相対運動の運動」について運動エネルギとバネのエネルギの表示まで習っていますか？

此処まで来ると，「換算質量」をご存知かどうかも知りたくなります．

受験勉強で忙しいと思うので，ご回答は簡単にお願いします．

Re: 運動量保存について

えりさんのレス (2006/09/01(Fri) 13:51)

こんにちは．私は今予備校に通っているのですが，これはそのテキストからの問題です．既に先生が解説済みなのですが，あいまいなところがやはりあるので，ノートを読んでも理解に苦しむところがあります．

私が教わっている先生は，相対運動での運動エネルギーとバネのエネルギー，換算質量のことも全て教えてくださる先生です（なにせ古典物理の世界観からお話してくださった方ですから…）．ですが，まだまだ私の頭がついていかないので，苦労している次第です…

Re: 運動量保存について

ｙama さんのレス (2006/09/01(Fri) 15:44)

先生が解説されたときの座標のとり方がはっきり書いてないのですが，吾人さんのとり方では mx0+MX0=ML がうまく説明できないように思います．そこで次のようにとれば辻褄が合うように説明できると思います．

台車Aとばねとの接触点の座標をx，台車Bとばねとの接触点の座標をXとします．座標の原点は，初期状態でのAとばねの接触点にとります．従って，初期状態では x=0．X=L となります． A,Bの速度をv,V とすると，運動量の保存の式は mv+MV=0 になり，これを時間で積分すると mx+MX=定数となります． x,X の初期値を代入すると定数=ML となり，従ってmx+MX=ML となります．この式は，台車がばねから離れる瞬間についても成り立つので mx0+MX0=ML が得られます．つまり，えりさんのお考えの通り，これは運動量保存の式をtで積分したものです．

なお，２番目の式の意味はすぐ分かると思います． X0-x0 は台車がばねから離れるときの接触点間の距離なので，ばねの自然の長さ L0 に等しくなるわけです．