無題

理系むず・・．さんの書込 (2006/08/24(Thu) 03:40)

よくわかんないんすよ ↓に数値かわってるけど同じもんだいあるんだけどよくわかんないっす問題はこれです冥王星の外側，太陽から約47.5635天文単位の距離に地球の３倍の質量を持つ太陽系１０番目の惑星が発見されました．第１０惑星は，地球と同じ公転面をほぼ円軌道で公転しています．地球の質量を５．９７４×１０の２４乗ｋｇ，公転周期を３６５．２４２２日として，この惑星の公転周期を求めなさい．

答えお願いします＞＜課題がおわらない．．．

Re: 無題

CO さんのレス (2006/08/24(Thu) 04:15)

今後も同じような質問が出ると予想されるので，回答しておきます．

1天文単位はだいたい太陽-地球間の平均距離で，理科年表によると

$1\rm{AU} = 1.49597870 \times 10^{11} \rm{m}$

です．

ケプラーの第三法則は

$(a_i)^3 \left(\frac{2\pi}{{P_i}}\right)^2 = G M_{\odot} \tag{1}$

です．ここで a_i は太陽系番目の惑星の軌道長半径， P_i は番目の惑星の軌道周期です．は重力定数で， $M_{\odot}$ は太陽質量を表します．

いま第十番惑星について (1) より

${P_{10}}^2 = \frac{4\pi^2 {a_{10}}^3}{G M_{\odot}} \tag{2}$

です． $a_{10}$ は与えられています． $GM_{\odot}$ がわかりません．そこで地球のデータを利用します．地球は太陽系の第三惑星です．

$G M_{\odot} = (a_3)^3(\frac{4\pi^2}{{P_3}^2}) \tag{3}$

(2),(3)より

$\frac{P_{10}}{P_3} = \left(\frac{a_{10}}{a_3}\right)^{\frac{3}{2}} \tag{4}$

となります． a_3 は太陽-地球間の距離なのでだいたい 1 天文単位ですよね． P_3 は 1 年です．したがって，だいたい $P_{10} = (47.5635)^{3/2}$ 年 = ??? 年であることがわかります． (??? は自分で計算してみて下さい)

Re: 無題

RAMMSTEIN さんのレス (2006/08/24(Thu) 08:27)

ＣＯさんのご説明とダブってしまうかもしれません，すみません．

ケプラーの法則の３番目で，公転周期（Ｔ）の２乗が，恒星と惑星の距離（Ｒ）の３乗と正比例としているのでＴ＾２＝ｋＲ＾３（ｋは比例定数）

から，たとえば，太陽と地球の関係をもとにするとＴを１年，Ｒを１天文単位（１ＡＵ）として，Ｔ＾２＝ｋＲ＾３→１＾２＝ｋ×１＾３で，ｋが１になります．Ｔ＝ＳＱＲ（１＾３）＝１年です．

今回は，Ｒが４７．５６３５ＡＵだから，Ｔ＝ＳＱＲ（４７．５６３５＾３）≒３２８．０２８年くらいです．

以上です．

Re: 無題

理系むず・・．さんのレス (2006/08/26(Sat) 03:30)

お二人とも回答ありがとうございます ↓の場合だと答えはどうなるのでしょうか？自分も計算と答え合わせもかねてオネガイシマス

冥王星の外側，太陽から約58.7840天文単位の距離に地球の３倍の質量を持つ太陽系１０番目の惑星が発見されました．第１０惑星は，地球と同じ公転面をほぼ円軌道で公転しています．地球の質量を５．９７４×１０の２４乗ｋｇ，公転周期を３６５．２４２２日として，この惑星の公転周期を求めなさい．

Re: 無題

RAMMSTEIN さんのレス (2006/08/26(Sat) 08:58)

とりあえず円運動の向心力についてと，万有引力による運動，惑星と太陽がなんでほぼ同じ距離（力のつりあい）を保ちながら回っているのかを調べてみると，面白いですよ．すこし脱線してケプラーとティコの歴史なんかもリサーチすると理解が深まります．

自分ががんばって組み立てた方程式に，すでにあるデータ（理科年表など）を２，３件入力してみて，間違いなければ，今回のデータを入れてみてください．計算機のボタンを押し間違えなければ，それが答えです．答えを自分で切り開いていくのも楽しいものです．

最近話題になっているプルート（冥王星）もからんでいてなかなかいいじゃないですか．マイペースで物理好きになってください．

以上です．

Re: 無題

yama さんのレス (2006/08/27(Sun) 00:40)

問題の出所はここのようですね． ttp://shirayuki.saiin.net/~siger/gate/index.cgi?planet/planet.html （サイトの入口はttp://shirayuki.saiin.net/~siger/gate/）アクセスするたびに数値がランダムに変わるようです．

そのためか，あちこちの掲示板や質問コーナーに同じような質問が寄せられているようですね．