歯車太郎 さんの書込 (2006/08/18(Fri) 00:19)

又の， つい最近見つけた三角関数関係です．

Mp*cos(Ap) = Mg*cos(Ag) ---- (1) sin(Bp)*cos(Ap) = sin(Bg)*cos(Ag) ----(2)

MP. Mg は実数で， Ap, Ag, Bp, Bgは角度です． (1)と(2)の二つの条件式から次の(3)の関係式が成立することが分かりました．

Mp/cos(Bp) * cos[atan{tan(Ap)/cos(Bp)}] = Mg/cos(Bg) * cos[atan{tan(Ag)/cos(Bg)}] --- (3)

参考までに (3)を短かく書き換えると Mtp*cos(Atp) = Mtg*cos(Atg) と成り，元の (1)と式が同じ形式になっています．

#include <stdio.h> #include <conio.h> #include <math.h>

main() { double Mp = 1.25, Ap = 20, Bp = 25, Ag = 30, Mg, Bg, f1,f2, pi=3.141592654;

Ap = Ap*pi/180; Ag = Ag*pi/180; Bp = Bp*pi/180; Mg = Mp*cos(Ap)/cos(Ag); Bg = asin(sin(Bp)*cos(Ap)/cos(Ag));

f1 = Mp/cos(Bp)*cos(atan(tan(Ap)/cos(Bp))); f2 = Mg/cos(Bg)*cos(atan(tan(Ag)/cos(Bg))); printf("n n f1 = %lf, f2 = %lfn", f1,f2) ; getch(); }

f1 = 1.279870, f2 = 1.279870

のように数値代入して確認出来ました．

(1)と(2)により(3)になる証明をどなたか出来ませんでしょうか？

なんとなく さんのレス (2006/08/19(Sat) 15:34)

こんにちは，なんとなくです．

不細工ですが，一応証明できましたので，アップしておきます．しかし，特性的な図を書けば，一目で分かる解がありそうな・・・．

題意を変えずに以下のように問題を整理します．

Acos(a)=Bcos(b)・・・? sin(θ)cos(a)=sin(θ')cos(b)・・・?

?，?の条件下で，証明すべき式は P1=A/cos(θ)*cos{arctan(tan(a)/cos(θ))} P2=B/cos(θ')*cos{arctan(tan(b)/cos(θ'))} とおいて，P1=P2を示すこと．

?，?より， cos(b)/cos(a)=A/B=sin(θ)/sin(θ')≡1/λ，と置く． このとき，cos(b)=cos(a)/λ，B=λA，sin(θ')=λsin(θ)より， P2=λA/√{1-λ^2+λ^2cos^2(θ)} *cos[arctan(√{-1+λ^2+λ^2tan^2(a)}/√{1-λ^2+λ^2cos^2(θ)})] =A/√(ξ+c)*cos(arctan(√(-ξ+b)/√(ξ+c))) (ただし，ξ=(1/λ^2-1)，b=tan^2(a)，c=cos^2(θ)と置いた）

ここで，P2をP2(ξ)とξの関数とみなし，ξで微分すると，

∂P2/∂ξ=-1/2(ξ+c)*cos(arctan(φ)+arccot(φ))=0

(∵φ=√(-ξ＋ｂ)/√(ξ＋c)）

∂P2/∂ξ=０から，変数ξの値によらない(一定)から，ξ=0とおけば， P2(ξ=0→λ=1)=P1

これがξによらないから，一般に，P2=P1．(Q.E.D)

歯車太郎 さんのレス (2006/08/20(Sun) 12:11)

大変勉強になりました． 有難うございました． 又， 幾つか質問載せますから，そのつど宜しくお願い致します．

なんとなく さんのレス (2006/08/21(Mon) 23:40)

>歯車太郎さん

ユニークな問題の提供，ありがとう御座います． 頭も大分，堅くなっていますので，微力ですが御参考になれば嬉しいです． 他の方の解答も見てみたいところですが，気短なので，つい出しゃばって しまいます(^^;)． まずい点，工夫の余地などありましたら，御教示ください． また，よろしくお願いします．