サンダ さんの書込 (2006/08/11(Fri) 20:58)

どうも高三理系のサンダです．円運動の微妙な記述が気になるのでお邪魔します．

「問 なめらかな表面を持つ半径ｒの球体が水平な床に接して固定されている．その最高点に質量ｍの小物体がある．小物体を水平に初速を加えて打ち出す時，球の表面を滑らずに直ちに放物運動するようになる初速の最小値はいくらか．重力加速度の大きさをｇとする」 という問題に対し，

「初速をVとして，円運動するとすると半径方向の運動方程式は， mv^2/r=mg-N 直ちに球から離れるのでN=0 よって0=mg-mv^2/r よってV=√(gr)」との答え．

解かるような解からないような・・・といった感覚で，仮の話からいきなり答えが出て騙されたような気分になったり，Vが最小値の話なので大きくなっていくとNが負の数になるんじゃないかと妙な感じがするのですが他に解答の仕方はないでしょうか？ ありましたらどうかご一報ください．長々とお邪魔しました．

山旅人 さんのレス (2006/08/12(Sat) 00:35)

以下のように考えてみては如何でしょうか．図が描けないので分かりづらいのですが…

小物体を，球の最高点から初速度 v ₀ で水平方向に動き出させたところ，小物体は球面上を角度 α 滑り落ちたところで球面から離れ，（放物線を描いて）落下したとします． 角度 θ (0≦θ≦α) 滑り落ちたときの速さを v とすると，エネルギー保存則より (1/2)mv ₀ ² ＝(1/2)mv ² −mgr(1−cosθ)…(1) が成り立ちます．また，小物体の運動は（不等速）円運動で，その点で球面から受ける垂直抗力を N とするとき，円運動の向心力として mgcosθ−N＝mv ² /r…(2) が成り立つのです．

(1)(2)よりN＝mg(2cosθ−1)−mv ₀ ² /r…(3)

θ＝α (離れる瞬間）のとき N＝0 で，(3)よりv ₀ ² /r＝g(2cosα−1)…(4)

(4)より，α＝0 のとき，v ₀ ² ＝gr∴ v ₀ ＝√(gr)

サンダ さんのレス (2006/08/15(Tue) 21:10)

山旅人さん返信有難うございます． 滑り出す位置から速度を出すわけですね．確かにこちらの方が納得し易い気がします． この考え方で解き直してみます〜．