「コーシー・リーマンの関係式」を再考する

mNeji さんの書込 (2006/07/21(Fri) 20:11)

コーシー・リーマンの関係式については，学生時代から釈然としていなかった．これを判らないと正面切っていえなかったと思う．ですからオイラーの公式が大好きな割りに，複素関数論は弱かったのです．

今回，近くのスレッドでこの「コーシー・リーマンの関係式」を利用した計算がでてきたので，自分なりに考えてみました．いわゆる「物理屋として納得できる」かも知れませんが，数学系統のかたから見ると，「複素微分可能性」を示したことにならないとも言われそうです．

がしかし，間違いなら間違いで，ではどう考えればいいかご指導いただきたく，以下に自説を書いて見ます．数式の使い方は「現代数学への入門複素関数論入門，神保道夫・著，岩波書店，2003-12, ISBN4-00-006874-1」，第3章複素数の微分と積分，p49以降にあわせています．

$f(z) = u(x,y)+\mbox{i}v(x,y)\qquad (z = x+\mbox{i}y) \tag{1}$

辺々の全微分を考えます；

左辺の全微分；

$\delta f(z) &\equiv f(z+\delta z) - f(z) \\&= \frac{d f(z)}{d z}\delta z$

右辺の全微分

$\delta u(x,y) + i\delta v(x,y) &\equiv \frac{\partial u(x,y)}{\partial x}\delta x +\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}\delta y + \frac{\partial \mbox{i} v(x,y)}{\partial x}\delta x +\frac{\partial \mbox{i} v(x,y)}{\partial y}\delta y \\&= \left(\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}+\mbox{i}\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}\right)\delta x + \left(\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}+\mbox{i}\frac{\partial v(x,y)}{\partial y}\right)\delta y \\&= \left(\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}+\mbox{i}\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}\right)\delta x + \left(-\mbox{i}\frac{ \partial u(x,y)}{\partial y}+\frac{\partial v(x,y)}{\partial y}\right)\mbox{i}\delta y \tag{2a} \\&= \left(\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}+\mbox{i}\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}\right)\delta x + \left(\mbox{i}\frac{ \partial u(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial v(x,y)}{\partial y}\right)(-\mbox{i}\delta y) \tag{2b}$

左辺の全微分が全ての方向の $\delta z$ に成立するには，右辺の $\delta x$ の係数と $\mbox{i} \delta y$ の係数とが等しく，かつ左辺の $\frac{d f(z)}{d z}$ に少なくとも比例する必要がある；

$\frac{d f(z)}{d z} \propto \left(\left(\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}+\mbox{i}\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}\right) = \left(-\mbox{i}\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}+\frac{\partial v(x,y)}{\partial y}\right)\right) \tag{3a}$

上記で関数u(x,y),v(x,y)は実数関数であるので，コーシー・リーマンの関係式が成立する．

$\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\partial u(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} \\\displaystyle \frac{\partial v(x,y)}{\partial x}=-\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} \\\end{array} \right.$

＃上式の記述に当り，Chappyさんに教えていただきました．感謝します．

Re: 「コーシー・リーマンの関係式」を再考する

Chappy さんのレス (2006/07/21(Fri) 23:10)

Chappyです，失礼します．．． left{ 〜right．でよいと思いますよ．記述例は以下の通りです．

$\left\{\begin{array}{@{\hskip4mm}l}\displaystyle \frac{\partial u(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} \\[7mm]\displaystyle \frac{\partial v(x,y)}{\partial x}=-\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} \\\end{array}\right.$

left{ begin{array}{l} displaystyle frac{partial u(x,y)}{partial x}=frac{partial v(x,y)}{partial y} \ displaystyle frac{partial v(x,y)}{partial x}=-frac{partial u(x,y)}{partial y} \ end{array} right.

ソースと実際に表示される数式は少し違うように見えますが，こまごまと細かいところを修正するのは僕の悪い癖です．．

Re: 「コーシー・リーマンの関係式」を再考する

mNeji さんのレス (2006/07/22(Sat) 00:13)

有難うございます．今度こそ，確実に理解できました．

>ソースと実際に表示される数式は少し違うように見えますが， >こまごまと細かいところを修正するのは僕の悪い癖です．．

Tex表記は慣れるに従って，細かな制御が出来るのが嬉しいです．これからも，4649．

質問：

f(z)の全微分を考える時， $\bar z$ の存在も入れないといけませんか？

$\Delta \Psi(\vec r) &=0 && \leftarrow \text{Laplace equation} & \Psi(\vec r): \text{harmonic function} \\\Delta \Phi(\vec r) & = q(\vec r) && \leftarrow \text{Poisson's equation}$

$\begin{array}{llll}\Delta \Psi(\vec r) &=0 &\leftarrow \text{Laplace equation} & \Psi(\vec r)=\text{harmonic function} \\\Delta \Phi(\vec r) & = q(\vec r) &\leftarrow \text{Poisson's equation} & \\\end{array}$