流体問題

ｋ・ｋさんの書込 (2006/07/15(Sat) 23:06)

今，流体を学んでるものなんですけど，非圧縮，粘性で，2次元流れにおいて，速度ｕ＝２ｘｙ，ｖ＝ｘ＾２−ｙ＾２＋１のとき，１この流れが連続方程式を満たすことをしめせ．２渦なしの条件を満たすことをしめせ．３速度ポテンシャルをもとめよ４流れ関数をもとめよ

という問題なんですが，1番から，どう証明したらいいか分からないので，教えてください．

Re: 流体問題

mNeji さんのレス (2006/07/15(Sat) 23:58)

始めまして．

大学生さんですよね．私も，これから「非圧縮，粘性」で水泳の解析をするために勉強をしようとしていますので，一緒に考えたいと思います．

今速度場が与えられている;

$\vec V(x,y) = u(xy)\vec e_x + v(xy)\vec e_y \tag{1}$ $u(x,y)=2xy, v(x,y)=x^2-y^2+1) \tag{2a,b}$

ベクトル解析は既に習いましたか？とりあえず，1について考えましょう．いま，直ぐ手元にある「連続流体物理学，西川恭治，大林康二，若谷誠宏・共著，朝倉書院，1981-04」を見ながら説明します．

連続の方程式(the equation of continuity)

一般的には,密度を $\rho$ とすると

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla(\rho \vec V(x,y)) =0 \tag{3}$

ですが，非圧縮の為に $\rho$ は時間微分も空間微分もゼロですから，

$0=\nabla\vec V(x,y)=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} \tag{4}$

ここで(2)を上式の右辺に代入すると；

$\nabla\vec V(x,y)=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}= \frac{\partial 2xy}{\partial x}+\frac{\partial x^2-y^2+1}{\partial y}= (2y) + (-2y) =0 \tag{5}$

と上式は常に「連続の式 (4)」を満たしている．

渦なし運動(irrotational motion)

簡単に言えば，x,y平面に垂直なz軸について，流れが回転していないことを言う．これは数学的には，

$\text{rot} \vec V = \nabla \times V =0 \tag{6}$

で表せる．(1)(2)より，上式を書き下すと上式のz成分は；

$\frac{\partial v(x,y)}{\partial x} - \frac{\partial u(x,y)}{\partial y} =\frac{\partial x^2-y^2+1}{\partial x} - \frac{\partial 2xy)}{\partial y} = (2x) - (2x) = 0\tag{7}$

よって(1)(2)で与えられた流れは渦の無い運動である．

速度ポテンシャル(velocity potential)

渦の無い速度場は速度ポテンシャル Error : LaTeX command contains irregal 2bytes character(s). の勾配で与えられる；

$\vec V = \text{grad} \Psi(x,y) \tag{8}$

成分ごとに書き下せば

$u(x,y) = 2xy = \frac{\partial \Psi(x,y)}{\partial x} \tag{9a}$ $v(x,y) = x^2-y^2+1 = \frac{\partial \Psi(x,y)}{\partial y} \tag{9b}$

複雑な関数である(9b)をyについて積分すると，積分定数を無視して，

$\Psi = x^2 y -\frac{y^3}{3} +y \tag{10}$

(10)を(9a)右辺に代入しても(9a)左辺に一致する．従って，(9)は(8)の速度ポテンシャルである．

流れの関数(stream function)

流れの関数 $\Phi$ によって

$u(x,y)=\frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y} \tag{11a}$

と与えられるとする．

連続の式(4)に代入し，偏微分の順序を交換できることを利用して

$\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} &= -\frac{\partial u}{\partial x}\\&= -\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y}\\&= -\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x}$