無題

無題

hajime さんの書込 (2006/07/02(Sun) 23:48)

もうすぐテストなんですがこの問題は絶対出るんですが，何時間考えても答えが出ません．問題は単純で「中心力は保存力であることを示せ」です

\textbf{F}=f(r)\textbf{r} 中心力Fは以上のようにあらわせる事を用いれば良いみたいですが．

Re: 無題

yama さんのレス (2006/07/03(Mon) 00:19)

\mathrm{rot}\bm{F}=0 を極座標で示せばいいと思います．

Re: 無題

hajime さんのレス (2006/07/03(Mon) 00:32)

うーん．rot（ローテーション）とかはまだあまり理解できていないので・・・できたら他の方法をおしえて欲しいのですが．すいません．

Re: 無題

yama さんのレス (2006/07/03(Mon) 00:47)

\int_{P_1}^{P_2}\bm{F}\cdot\bm{dr} の値が始点と終点のrの値だけで決まることを極座標で示すのはどうでしょうか．

F_{\theta}=F_{\phi}=0 なので，これはほとんど自明だと思いますが・・・．

Re: 無題

mNeji さんのレス (2006/07/03(Mon) 00:57)

hajimeさん：

始めまして．：P

保存力の定義のうち何を使って証明するかにもよります．

点Aから点Bまでの仕事，

\int_{\vec R_a}^{\vec R_b}\vec F(\vec r)d\vec r

が，半径成分の積分に帰着することから，経路に拠らないので，保存力を主張できます．

ついでに，点Aから点Bの間を何層かの同心円で切り(お菓子のバウムクーヘン)，適当に動径方向と，同心方向とを進んだ図を書き，中心力だから同心方向の積分は零をアピール．

追伸：すこしインチキな説明

位置ベクトルの内積を考えて，その微分を考えます

r^2 = \vec r*\vec r
2r*dr= d(\vec r)*\vec r + \vec r*d(\vec r) = 2\vec r*d(\vec r)

Re: 無題

toorisugari no Hiro さんのレス (2006/07/03(Mon) 18:04)

「中心力は保存力であることを示せ」って文章は問題ありますよね．正確には 「大きさが中心からの距離のみの関数で表される中心力は保存力であることを示せ」 ですよね．ま，式にはそう書いてあるので問題はないですが．．．

証明としては，任意の関数 \phi について

\mbox{grad}~\phi(r) &= \phi'(r)\frac{\bm{r}}{r}\qquad(r=|\bm{r}|)\tag{1}

がいえることと， \bm{F} の定義を見比べれば， \bm{F}=-\mbox{grad}~U(r) となる U が存在することを示せます．

(1)式は微分の鎖則と，mNejiさんが最後書かれた式と同じ考え方から導かれる式

\mbox{grad}~r &= \frac{\bm{r}}{r}

とで示せます．

(前に書いた記事は答えをそのまま書いたことになるので削除しました．)

これでどうですかね？？

hajime さんのレス (2006/07/05(Wed) 15:49)

\int_{A} ^{B}\textbf{F}d\textbf{r}=\int_{r_a} ^{r_b}f(\textbf{r})\textbf{r}d\textbf{r}=f(r_b)-f(r_a)

よって点Ａ，Ｂを局座標で考えたとき，P1からP2までに中心力によってされた仕事はｒのみよるもので角度には依存しない．これはどの経路を通ってもなされる仕事は等しいので中心力は保存力である．

一応頑張ってといたのですが，間違っていますか？？

Re: これでどうですかね？？

mNeji さんのレス (2006/07/05(Wed) 16:08)

かなり正解に近づいたとおもいます．積分の中身だけを書けば

F(\vec r)d\vec r = f(r)\vec r d\vec r = f(r)r dr = \frac{d g(r)}{dr}dr

などとしたらいかがですか．

当面は，この積分が意味するところを図形的にじっくり味わっておきましょう．ベクトル解析が詳しく身に付いてくると，各種の積分と偏微分との関係から，保存力にまつわる芳醇な姿が明らかになると思います．

近代物理学のスタート点に立たれたと言えるのでしょうね．

追伸：

toorisugari no Hiroさんの - 2006/07/03(Mon) 18:04 No.10160 記事の式(1)を念頭に， \nabla g(r) を計算すると，如何ですか．

Re: これでどうですかね？？

yama さんのレス (2006/07/06(Thu) 00:07)

F_{\theta}=F_{\phi}=0 について説明しておきます．

極座標で考えたとき F_r は動径方向の力の成分で， F_{\theta} と F_{\phi} はそれぞれ天頂角方向と方位角方向の力の成分です．中心力なので，動径方向の成分だけがあり，それに垂直な方向の成分は0になるわけです． なお極座標では， \bm{F}\cdot\bm{dr}=F_rdr+F_{\theta}rd\theta+F_{\phi}r\sin\theta d\phi になることに注意しましょう．

ありがとうございました．

hajime さんのレス (2006/07/06(Thu) 01:09)

yamaさん，mNejiさんありがとうございました．つまり， \frac{dg(r)}{dr}=f(r)\textbf{r} とおけばいいってことですよね． ベクトルに関してはこれから頑張っていきたいと思います．

参考まで

mNeji さんのレス (2006/07/06(Thu) 02:38)

力の積分

\int_{\vec r_a}^{\vec r_b}\vec F(\vec r)d\vec r = \int_{\vec r_a}^{\vec r_b}f(r)\vec r d\vec r = \int_{r_a}^{r_b}f(r)r dr = \int_{r_a}^{r_b}\frac{d g(r)}{d r} dr = g(r_b) - g(r_a)

ポテンシャルの微分

G(\vec r)=G(x,y,z)=g(r) について，微分量を考える；

\delta G(\vec r) = G(\vec r + \delta \vec r ) - G(\vec r)= \frac{\partial G(x,y,z)}{\partial x}\delta x + \frac{\partial G(x,y,z)}{\partial y}\delta y+ \frac{\partial G(x,y,z)}{\partial z}\delta z

ここで \frac{\partial G(x,y,z)}{\partial x}\delta x = \frac{\partial G(x,y,z)}{\partial x}\vec e_x*\delta x \vec e_x ,\quad \frac{\partial g(r)}{\partial x} = \frac{d g(r)}{d r}\frac{\partial r}{\partial x} に注意すれば；

\delta G(\vec r) = grad G(x,y,z)*\delta \vec r = \nabla g(r)*\delta \vec r = \frac{\partial g(r)}{\partial r}\nabla(r)*\delta \vec r = \frac{d g(r)}{d r}\frac{\vec r}{r}*\delta \vec r =\frac{d g(r)}{d r}d r = f(r)rd r = f(r)\vec r\delta \vec r

故に \nabla g(r) = f(r)\vec r