楕円軌道
楕円軌道
POTYOMUKIN さんの書込 (2006/07/02(Sun) 10:42)
続けてすみません． 楕円軌道を描いて運動している惑星が,ちょうど近日点に差し掛かった時,突然太陽の質量が１／3になったとすれば,その後の惑星の軌道はどうなるか？ という問題ですが， ヒントが動径方向の加速度が-（ｈ＾2/ｌ）（1/ｒ＾2）であることを用いて，近日点における速度を求め，質量が変化した後のエネルギーが正になることを示せ． 答え双曲線． なのですが，
おそらく何らかの方法で加速度を求め，積分して速度もとめて （1/2）ｍｖ＾2−GｍM/ｒ＝Eに代入して， E＞0を示すのかな．とおもっているのですが， 加速度がなんで-（ｈ＾2/ｌ）（1/ｒ＾2）なるのか？ そうなったとしても，積分できないのではないか？ この方法であっているのか？ という疑問です．誰か教えてください．お願いします．
Re: 楕円軌道
POTYOMUKIN さんのレス (2006/07/02(Sun) 17:56)
加速度はなんとなくさんのおかげで ｈ＝ｒ＾（2）φ＾[1] ｌ＝ｈ＾2/GM より， F＝−GmM/r^2 F/m=-（ｈ＾2/ｌ）（1/ｒ＾2）と出ました． 近日点の速度がどうやればよいのか？ 離心率を使って 焦点から近日点の距離ｒ＝ｌ/(1+e)を使うんでしょうか？なぜかうまくいっていません．
Re: 楕円軌道
POTYOMUKIN さんのレス (2006/07/02(Sun) 21:31)
とりあえず近日点の速度を求めるのにいろいろ試してはいたのですが， 近日点での距離と速度ｒ’，ｖ’遠日点での距離と速度ｒ”，ｖ”として ケプラーの法則から （1/2）ｒ’ｖ’＝（1/2）ｒ”ｖ” エネルギー保存から （1/2）ｍｖ’-GMm/r'=（1/2）ｍｖ"-GMm/r" より ｖ’＝（GMｒ”/ar'）^(1/2) （1/2）ｍｖ’＾2−Gｍ（1/3）M/ｒ＝Eに代入して E=mGM(3r"-2)/6ar' とかやってみてたり，問題はここから(3r"-2)＞0であるかどうかなんですが，ｒ”が2/3より大きいのは，自明となるのでしょうか・・・？
それはさておき， なんとなくさんの返信より 楕円の問題に関しては，角運動量の定義から速度を逆算してはどうでしょう． ということなので，多分こうだろうということで（違うかもしれませんが）， （加速度ｒ方向）＝−ｖ＾2/ｒ （加速度φ方向）＝0 から ｖ＾2＝ｈ＾2/lr （1/2）ｍｖ＾2−Gｍ（1/3）M/ｒ＝Eに代入して （1/2）mｈ＾2/(lr)−（1/3）mh^2/(lr)＝E よって E＝mh^2/6lr>0 で一応なりそうですが，近日点における速度となっているのかが疑問です．これだとどの位置ｒでもなっている気がします．近日点であることを考慮できるのでしょうか？速度の求め方がやはり間違っているのでしょうか？どなたか教えてください．お願いします．
ｌ＝ｈ＾2/GM：半直弦 ｈ＝ｒ＾2ｄ/ｄｔ（φ） a＝（ｒ’+ｒ”）/2：長半径
Re: 楕円軌道
なんとなく さんのレス (2006/07/03(Mon) 01:13)
こんばんは．
良い質問だと思いますが，いろいろ考えてみると，深読みしすぎ(^o^;)かなという気がします． 近日点で（評価して）良いと問題に断ってあるので，そのつもりで見直すと， 近日点では，加速度=(h^2/l)(1/l^2)=h^2/l^3 より，速度v0^2=h^2/l^2，変化後エネルギーＥ’=(1/2)mv0^2-GmM/l=(1/2)m(h^2/l^2)-(1/3)m(h^2/l^2) =(1/6)m(h^2/l^2)>0，（∵GM=h^2/l) ですから，正解であると思います． つまり，この問題では，POTYOMUKINさんの解かれたとおり，一般のｒでは， Ｅ’=(1/6)m(1/r)(h^2/l)>0となり，結局どこから始まっても，そうなるのではないでしょうか． 通常時のエネルギーは同様に考えれば， Ｅ=(1/2)m(1/r){(h^2/l)-2GM}，GM=h^2/lですから， 実はＭ→Ｍ/2では，放物線(E=0)にしかならないため，太陽質量を1/3以下(E>0)にする必要があったのでしょうが，近日点云々は計算の簡単化であるのでしょう． 確かに近日点ではポテンシャル最小，速度最大ですから，全エネルギーはもっともプラスにな成りやすいですからね． ではまた．
Re: 楕円軌道
POTYOMUKIN さんのレス (2006/07/03(Mon) 01:53)
ケプラーの法則でだしたとこの （1/2）ｍｖ’＾2−Gｍ（1/3）M/ｒ＝Eに代入して E=mGM(3r"-2)/6ar' が間違ってました． （1/2）ｍｖ’＾2−Gｍ（1/3）M/ｒ’＝Eに代入して E=mGM(3r"-2a)/6ar' でｒ”＞aなので，たぶんE＞0となるのでしょう．ケプラーの法則を使った場合．
なんとなくさん返信ありがとうがざいます． なるほどわかりましたありがとうがざいます． すこし気になっていたのですが，近日点から太陽までの距離はｒ＝ｌとなるのはなぜなのでしょうか？
Re: 楕円軌道
なんとなく さんのレス (2006/07/03(Mon) 12:13)
こんにちは．
近日点から太陽までの距離は，r=l/(1+e)ですね（ｌを半直弦として）．係数分省略してしまいました． 申し訳ないですが，適当に調整してください(^o^;)．
