はじめまして,物理学科1年の雪鴉といいます. 数学に苦戦を強いられながらも,がんばって勉強しております.
課題として,『力学的エネルギー保存則をつかってケプラーの第3法則を証明せよ』というものが出されました. どうしても方針が立たず計算が上手くいきません.
どうか,ご助力をお願いいたします.
ケプラーの第3法則の表現には, 惑星の公転周期の2乗は【楕円軌道の半長径】の3乗に比例する.・・・? 惑星の公転周期の2乗は【太陽との平均距離】の3乗に比例する.・・・? がある模様だ.?と?のどちらが正しいのだろうか,質問する.
仮に?と?が共に正しいとしたら, 【楕円軌道の半長径】が同じ幾つかの楕円軌道の【太陽との平均距離】は同一となるが, この場合の【平均距離】とはどのような意味での平均値だろうか,質問する.
?が正しいとしたら,楕円軌道の一つの円軌道で簡便に第3法則を説明できるのだが.
半長径Rで半短径0.866Rの楕円の周長を100等分した図解で平均半径Rを得た. 半長径Rで半短径0.500Rの楕円の周長を100等分した図解で平均半径Rを得た. 上記図解はR=100mmで有効桁数8桁で結果表示0.001mmで行った.この事実から,
【楕円軌道の半長径】が一定である円を含む無限個の楕円軌道の全てにおいて, 【楕円周長を無限に等分割する点と太陽を結ぶ半径の平均値】は同一である.
のは概ね確実であるが,私には証明できない.周長を等分割で良い理由も含めて.
【楕円軌道の半長径】が一定である円を含む無限個の楕円軌道の全てにおいて, 【楕円周長を無限に等分割する点と太陽を結ぶ半径の平均値】は同一である. の証明の目途が付いた.
私の方法は稚拙かも知れないが, 『楕円軌道上の点は2つの焦点からの距離の和が一定である』を半長径が一定 で楕円度が異なる2個の楕円について,図形的に利用する方法である.
残り,証明を要するのは, 『平均値を計算する半径の一端は焦点で,他端は周長を等分割する点で良い』